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第四章 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征简介 随机变量的概率分布完整地描述了随机变量的统计规律. 但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对于某些问题来说，只需知道它的某些特征。 将刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。 包括：期望、方差、协方差、相关系数 主要内容 §4.1 随机变量的期望 §4.2 方差 §4.3 协方差与相关系数 第一节 数学期望 一、数学期望的概念 几种离散型随机变量的期望 例4-7 设随机变量 的概率密度为 例4-8 设随机变量 的概率密度为 二、随机变量函数的数学期望 例4-5 设随机变量X的分布律为 例4-6 设随机变量X的分布律为 例4-13 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 三、数学期望的性质 例4-14 见书 例4-15 4人进行射击比赛，每人射4发。在射击时，约定某人全部不中得0分，只中一弹得15分，中两弹30分，中三弹得55分， 中四弹得100分。四人射击的命中率都为3/5，求4人射击总得分的期望。 四、小结 第二节　方　差 一、随机变量方差的概念及性质 例4-18 设随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4， 求E(X2)。 例4-19 设随机变量X的概率密度如下，求D(X)。 二、重要概率分布的期望和方差 四、小结 第三节 协方差及相关系数 一、协方差与相关系数的概念及性质 例4-28 设(X, Y)的密度函数如下，求Cov(X,Y)和?XY。 例4-29 设(X, Y)服从D上的均匀分布，其中D由x轴、y轴及x+y=1所围成，求Cov(X,Y)并判断X、Y是否相互独立。 例4-31 设(X, Y)在圆域D={(x,y)|x2+y2?1}上服从均匀分布，求Cov(X,Y)和?XY，并判断X、Y是否相互独立。 例4-34 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(X), E(Y), D(X), D(Y), Cov(X,Y), ?XY。 例4-35 设(X, Y)的密度函数如下，求E(X), E(Y), D(X), D(Y), Cov(X,Y), ?XY。 例4-35 设(X, Y)的密度函数如下，求E(X), E(Y), D(X), D(Y), Cov(X,Y), ?XY。 例4-36 证明 例4-37 D(X)=4, D(Y)=1, ?XY=0.6, 求D(X+Y), D(3X-2Y)。 三、小结 第四节　矩、协方差矩阵 一、基本概念 例4-38 设(X, Y)的协方差矩阵如下，求?XY。 三、小结 3. 方差的性质 一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结 1. 问题的提出 协方差 2. 定义 3. 协方差的计算 当(X, Y)为二维离散型随机变量时，且其分布律为 则 当(X, Y)为二维连续型随机变量时，且其概率密度为f(x,y) 则 3. 协方差的计算 证明 解 4.协方差的性质 (4) 若X与Y相互独立，则有Cov(X,Y)=0和?XY=0。 反之， Cov(X,Y)?0或?XY ?0， 则X与Y一定不相互独立。 解 由题意 由于Cov(X,Y)?0，所以X、Y不相互独立。 解 由题意 所以X、Y相互独立。 -1 1 0.25 0.5 -1 1 0 0.25 解 E(X)=-1?0.25+1?0.75=0.5 E(X2)=(-1)2?0.25+12?0.75=1 D(X)=E(X2)-E(X)2=0.75 E(Y)=-1?0.75+1?0.25=-0.5 E(Y2)=(-1)2?0.75+12?0.25=1 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=0.75 E(XY)=-1?0.5+1?0.5=0 Cov(X,Y)=E(XY)- E(X)E(Y)=-0.25 解 解 证明 解 说明P76例3-18 解 练习 1. 相关系数的意义 二、相关系数的意义 （定义4-6） (2) 不相关与相互独立的关系 2. 注意 相互独立 不相关 (1) 不相关的充要条件 4. 相关系数的性质 a?0 Y=aX+b 相关系数的意义 一、基本概念 二、n 维正态变量的性质 三、小结 1.定义 2. 说明 3. 协方差矩阵 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 4. 随机变量方差的计算