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第八章: 假设检验 在这里， 下面计算样本2, 3, 4阶中心矩B1, B2和B3。计算 时可利用 其中， 经计算， 得 这是一项非常重要的工作,许多学者视它为近代统计学的开端。 解决这类问题的方法最早由英国统计学家 K. Pearson (皮尔逊) 于1900年在他发表的一篇文章中给出, 该方法后被称为 Pearson χ 2检验法，简称χ 2检验。 设F(x)为一已知的分布函数，现有样本X1, X2, …, Xn，但我们并不知道样本的总体 分布是什么。现在试图检验 H0：总体 X 的分布函数为F(x) ； (1) 对立假设为 H1：总体 X 的分布函数非F(x)。如果 F(x) 形式已知，但含有未知参数θ 或参 数向量 θ=(θ1, θ2,…, θr) ，记为F(x, θ )。这种检验通常称为分布的拟合优度检验。 8.4.1 χ 2检验 不妨设总体 X 是连续型分布。检验思想与步骤如下: (1). 将总体 X 的取值范围分成 k 个互不重叠的 小区间 I1, I2, …, Ik， (2). 计算各子区间 Ii 上的理论频数。 如果总体的分布函数为F(x, θ)，那么，各点落在区间 Ii 上的概率均为 n 个点中，理论上有n pi (θ )个点落在 Ii 上, (称为理论频数)。当分布函数中含有未知参数 θ时，理论频数也未知，要用 来估计 n pi (θ)， 为 θ的极大似然估计。 (3). 计算各子区间 Ii 上的实际频数 fi 。 fi =﹟{ X1, X2, …, Xn ∈ Ii } ， i=1, 2, …, k . 计数符号，取集 合中元素的个数 (4). 计算理论频数与实际频数的偏差平方和。 可以证明：在 H0 成立，且 n→∞时, (5). H0 的显著性水平为 α的检验的拒绝域为 注意：该检验方法是在 n 充分大时使用的，因而，使用时要注意 n 必须足够地大, 以及 npi 不能太小这两个条件。 在实用上，一般要求 n ≥ 50，以及所有npi ≥5。如果初始子区间划分不满足后一个条件, 则适当地将某些子区间合并，可使 npi 满足上述要求。 例1: 在一实验中, 每隔一定时间观察一次由某种铀所放射到计数器上的 α粒子数X, 共观察了100次, 得到结果如下表8.1所示。给定α = 0.05, 检验假设 H0：X 服从泊松分布 P(λ) . 其中 fi 是观测到有 i 个α 粒子的次数。 注：X~P(λ)表示 解: 因H0中含有未知参数 λ,所以应先估计该参数。由极大似然估计法，得 在H0成立前提下，X 可能的取值为{0,1,2, …}, 将该集合分成A0={0}，A1={1}，…, A11={11}, A12={12,13,…}，则 P{X=i}=pi 的估计为 将检验统计量计算用数据填入下表，得 所以，在 α = 0.05下, 接受原假设，可以认为数据服从泊松分布。 例2: 自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中, 全世界记录到里氏4级或4级以上地震共计162次，相继两次地震间隔天数X统计如下: 给定α = 0.05, 检验假设X服从指数分布。 解: 根据题意，检验假设：H0 ：X服从指数分布，即X有概率密度函数 在这里，H0中含有未知参数θ,应先估计。由极大似然估计法，得 在H0成立前提下，X 可能的取值为[0, ∞), 将其分成 A1=[0, 4.5)，A2=[4.5, 9.5), …, A9=[39.5, ∞)， 则 P(Ai)=pi 的估计为 其中Ai=[ai, ai+1)，i=1,2 …,9。 故，在 α = 0.05下, 接受原假设，即认为数据服从指数分布。 例3: 为检验棉纱的拉力强度 X (单位: kg) 服从正态分布，从一批棉纱中随机抽取300条进行拉力试验，结果列在表8.2中。给定 α = 0.01,检验假设 H0：拉力强度 X ~ N(μ, σ2) . 解：本例中，并未给出各观测值 Xi 的具体值,只给出了各观测值的取值范围，这样的数据称为区间数据。样本均值与样本方差可通过下列式计算： (1). 先将数据 Xi 分成13组，每组落入一个区 间，区间的端点为： (2). 计算数据落入各子区间的理论频数。 因分布中含有两个未知参数，所以，理论频数只能近似地估计。落入第 i 个子区间Ii 的理论频数的估计为 ， 其中 (3). 计算数据落入各子区间上的实际频数 fi 。 fi =﹟{ X1, X2, …, X