4.3二次型与对称矩阵的有定性.ppt

* 例1 有 称此二次型 对应的矩阵 称为正定矩阵. §4.3 二次型与对称矩阵的有定性 考虑二次型 是正定二次型. 考虑二次型 有 称此二次型是 相应的矩阵 称为半正定矩阵. 例2 存在 使得 半正定二次型. 例3 称此二次型是 相应的矩阵 为负定矩阵. 考虑二次型 有 负定二次型. 例4 有 称此二次型是 相应的矩阵 称为半负定矩阵. 半负定二次型. 考虑二次型 存在 使得 对于具有对称矩阵A 如果对任何 都有 则称二次型 A称为正定矩阵 是正定二次型 定义4.4 的二次型 (负定二次型) (负定矩阵) 对于具有对称矩阵A 如果对任 都有 则称二次型 A称为半正定矩阵. 且至少存在一个 使 是半正定二次型. 定义4.4 的二次型 对于具有对称矩阵A 如果对任 都有 则称二次型 A称为半负定矩阵. 且至少存在一个 使 是半负定二次型. 定义4.4 的二次型 二次型 有 有 且 使得 是正定的 二次型 有 是负定的 二次型 是半正定的 二次型 是半负定的 有 且 使得 例 不是 正定的; (半) (半) 也不是 负定的. 此时 称为不定的. 二次型 二次型及其矩阵 不具有有定性的二次型 只有对称矩阵 矩阵 谈到矩阵为正定、 负定、 半正定、 半负定 统称为二次型 负定、半正定、半负定. 均已隐含它是对称矩阵. 才有对应的二次型, 及其矩阵的 及其矩阵 称为不定的. 有定性. 故只有对称 才谈的上正定、 负定、半正定、半负定, 的正定、 它对应的二次型 对称矩阵A为正定矩阵 它对应的二次型 对称矩阵A为负定矩阵 它对应的二次型 对称矩阵A为半正定矩阵 它对应的二次型 对称矩阵A为半负定矩阵 为正定二次型 为负定二次型 为半正定二次型 为半负定二次型 例 对任何 故二次型 为正定二次型. 为正定矩阵. 当 时， 对应的矩阵 如 为正定二次型. 故单位矩阵E 为正定矩阵. 例 对任何 故二次型 为负定二次型. 为负定矩阵. 当 时， 对应的矩阵 如 为负定二次型. 故 为负定矩阵. 例 对任何 故二次型 为半正定二次型. 为半正定矩阵. 当 时， 对应的矩阵 且至少有一个 如 为半正定二次型. 为半正定矩阵. 例 对任何 故二次型 为半负定二次型. 为半负定矩阵. 当 时， 对应的矩阵 且至少有一个 如 为半负定二次型. 为半负定矩阵. 对角矩阵 为正定矩阵 定理4.6 的充要条件是 如果A正定, 证明思路： A正定, 则B也正定. C可逆. 要证 定理 4.5 设A～B 由A～B 知， 设 只需证 如果A正定, 证 由C可逆， 方程组 只有零解. A正定, 所以矩阵B正定. 则B也正定. C可逆. 定理 4.5 设A～B 由A～B 知， 设 令 给定二次型 设该二次型 化为: 若 经过非退化 正定， 则 也正定. 线性替换 矩阵或二次型为正定 准则2 定理4.7 准则4 准则1 A与单位矩阵E合同. A的特征值都大于零 定理4.8 准则3 f 的正惯性指标为n 以下给出几个 作为判别准则. 存在可逆矩阵C, 使得 矩阵A为正定矩阵 n元二次型f 正定 矩阵A为正定矩阵 的充分必要 条件,