第四章中值定理，导数的应用.doc

第四章 中值定理，导数的应用（A） 1、设f(x)=lnx，在[1, e]上求ξ的值使拉格朗日定理的结论成立. 2、不求导数，判断函数的导数有几个实根，以及其所在范围. 3、证明：方程在[0, 1]上至多有一个实根（c为任意常数）. 4、不求导数而根据罗尔定理证明：函数在区间内必有一点c，使= 0. 5、设多项式P(x)=ao+a1x+…+an x n的系数满足 证明：在(0, 1)内必有. 6、证明方程只有一个实根. 7、设f (x)在（a, b）内二阶可导，且f″(x)≠0，, f(x)在(a, b)内至多有一个驻点. 8、试证明：如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2－3ac0，则这函数没有极值. 9、若f(x)是[a, b]上的正值可微函数，有点ξ∈(a , b) ，使. 10、设f(x)在[0 ,]上连续，在(0 , )内可导，求证存在一点，使得 11、设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，证明存在ξ∈(0, 1)，使得： 12、对函数f(x)=sinx，g(x)=1+cosx在区间上验证柯西中值的正确性. 13、设f(x)在[0,1]上可微，证明：一定存在ξ∈(0,1)，使得 =2ξ[f(1)－f(0)]. 14、设ab0，f(x)在[a ,b]上连续，在(a ,b)内可导，证明存在ξ∈(a ,b)使得 . 15、证明：, x∈[－1, 1] 16、设x1，证明不等式 17、当x1时试证不等式exex成立. 18、利用罗彼塔法则求下列极限： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）（a0, a≠1） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） 19、求下列函数的增减区间 （1）y = x33x +1 （2） （3） （4） （5） 20、证明下列不等式 （1）当x0时， （2）当时， 21、证明程只有一个实根. 22、求下列函数的极值 （1） （2） （3） （4） 23、试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 24、求下列函数在给定区间上的最大值和最小值. （1） （2） （3）， （4），（5）， 25、证明： （1）周长一定的矩形中，正方形面积最大； （2）面积一定的矩中，正方形周长最小. 26、有一块等腰直角三角形钢板，斜边长为a，欲从这块钢板中割下一块矩形，使其面积最大，要求以斜边为矩形的一条边，问如何载取？ 27、某客商以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此牛仔裤的需求函数为Q = 40－2P，问应将价格定为多少时，才能获得最大利润？ 28、设商品需求量Q = 75－P2，其中P为商品的价格，求最大总收益. 29、确定下列函数的凹向及拐点： （1）y=x3－x4 （2）y = x2+lnx （3 （提示：不存在，经验证不是拐点） （4 30、求下列曲线的渐近线 （1） （2） （3） （4） 31、作下列函的图形 （1） （2） （3） 32、试确定p的取值范围，使得与x轴 （1）有一个交点 （2）有两个交点 （3）有三个交点 （B） 一、选择题 1、设f (x)，g (x) 在点x0处可导，且f (x0) = g (x0) = 0,g(x)，f (x)在x0处二阶导数存在，则点x0（ ）. 不是f (x)g(x)的驻点； （B）是f (x)g(x)的驻点，但不是极值点； 是f (x)g(x)的极大点； （D）是f (x)g(x)的极小点； 2、设x0是f(x)的驻点，g(x)可微，且g(x0)≠0，则x0是（ ）. （A）f(x)g(x)的驻点； （B）的驻点； （C）的驻点； （D）的驻点 3、设f(x)有二阶连续导数，且 则（ ）. （A）f(0)是f(x)的极大值； （B）f(0)是f(x)的极小值； （C）(0，f(0))是曲线y = f(x)的拐点 ； （D）f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y =