2012考研数学重要知识点解析之高等数学(三).docVIP

2012考研数学重要知识点解析之高等数学（三） 万学海文 数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。万学海文数学考研辅导专家们在此，特别为2012年的广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。这次我们介绍的是拉格朗日中值定理。 1.定理内容： 若满足条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导 则在开区间内至少存在一点，使得 ， 即 2.定理证明： 分析：由于该定理中出现了中值，我们需要用学过的罗尔定理来证明。分析已知条件可知，我们需要构造一个辅助函数，这个函数既要和有关，又要满足洛尔定理的条件。辅助函数的构造是中值定理解决实际问题的关键，就这个定理而言，我们从定理的结论入手，把它变型为：，很容易我们会联想到洛尔定理的结论是，如果可以看作某个函数在点的导数值的话，如果这个函数满足洛尔定理的条件，那么这个辅助函数我们就找到了。事实上，此时辅助函数可记为. 证明：作辅助函数， 易验证满足：在闭区间上连续，在开区间内可导，且； 又 。 根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即 即 . 3.定理注解: （1）定理的不同形式： 1），在之间； 2）； 3）. （2）定理的几何意义： 可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线。 4.应用举例：（证明含有中值的等式） 设试证至少存在一点使得 分析：这个结论中含有中值，还有函数在两个端点处的函数值，首先将所证式子中不带的移到等式一端，整理得，从这个式子的形式我们看出可以尝试使用拉格朗日中值定理去证明！ 证明:设， 因为，所以在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，至少存在一点使得 即 总结：在遇到用中值定理去证明等式时，设置辅助函数是一个重点，也是一个难点。解决这类问题，通常从结论出发，把含有中值的项分离到等式一边，剩余项放在另一边，并从中分析出辅助函数的形式。最后，验证辅助函数满足定理的条件，并证明之。..........................