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第五章 滤波和滤波器设计 线性系统理论 经典数字滤波方法 魏纳滤波器极其设计方法 MATLAB线性滤波器设计 第五章 滤波和滤波器设计 计算机图像处理 系统 输入x(t) 输出y(t) （实体） §5.1 线性系统理论 一.概述 系统： 输入、输出可以是一维、二维和更高维数。 一维线性系统： 如果： 且满足： 则称该系统为线性系统，线性系统输入与输出的函 数表达式为： 二.一维卷积 为找到一个一元函数来描述线性系统，引入移不变约束，即：如果 有： 如果输入信号沿时间轴平移 T，那么输出信号除平移同样长度之外，其他性质不变，则称该系统为线性移不变系统。 对于线性移不变系统有： 令： 得： 函数f对于T必须满足： 于是定义： 则： 简单记为： 一维函数卷积过程为： 一维函数卷积的离散形式为： 其矩阵形式为： 矩阵形式为： 三、二维函数卷积 将上述讨论推广到二维空间，则二维函数卷积的表达式为： 其离散形式为： 边缘增强示意图： 函数卷积定理指出了傅立叶变换的重要性质，即时域中的卷积相当于频域中的相乘： F 且： F-1 时域中复杂的卷积运算可以在频域中通过简单的相乘来实现，其步骤为： 1）对两个函数进行傅立叶变换； 2）求变换后两函数的乘积； 3）求出乘积的傅立叶逆变换。 五. 滤波与滤波器设计 对图像进行滤波，修改或增强图像，从而提高图像的 信息量。 假设线性系统： 若x(n)、y(n)的傅立叶变换存在，则输入、输出的频域关系是： 其滤波原理图如下： §5.2 经典数字滤波方法 一. 低通滤波器 最简单的低通滤波器有：1）矩形滤波器 2）三角形滤波器 高频截止滤波器是一种较为粗略的低通滤波方法，该法首先计算信号或图像的傅立叶变换，然后将傅立叶变换幅值谱的高频部分强行设计为零，再求出傅立叶反变换得到滤波后的图像。 二.带通和带阻滤波器 理想带通滤波器的传递函数为： 理想带通滤波器的冲击响应的傅立叶为： 理想带阻滤波器的传递函数为： 理想带阻滤波器的冲击响应为： 高斯带通滤波器的传递函数为： 高斯带通滤波器的冲击响应为： 三. 高通滤波器（高频增强滤波器） 高通滤波器的冲激响应为： 对上式进行傅立叶变换，并令s=0，则 §5.3 魏纳滤波器及其设计方法 一. 随机变量 为了分析处理随机变量，引入期望算子： 假设已知信号x(t)的自相关函数： 则x(t)的功率谱为: Pn(s)=F{Rn(τ)} 二.魏纳滤波原理 定义误差信号： 则均方误差为： 魏纳滤波原理：给定s(t)和n(t)的功率谱，选择一个均方误差最小的冲激响应h(t)，使得输出： y(t)=x(t)*h(t) 的误差最小。 用变分法求取h(t)，通过运算得魏纳滤波器的传递函数为： H0(S)=PXS(S)/ PX(S) 三. 魏纳滤波器设计步骤 1)对输入信号s(t)的样本进行数字化. 2)求输入样本的自相关函数,得到Rx(τ)的一个估计值. 3)计算Rx(τ)的傅立叶变换,得到Px(s)。 4）在无噪声情况下对输入信号的一个样本进行数字化。 5）求信号样本与输入样本的互相关函数，估计出Rxs(τ）。 6）计算Rxs(τ）的傅立叶变换，得出Pxs(s)。 7) 利用H0(S)=PXS（S）/ PX（S）计算魏纳滤波器的传递函数H0(S)。 魏纳滤波器传递函数和均方误差曲线 §5.4 MATLAB线性滤波器设计 一.频率变换方法 函数ftrans2可以实现频率变换滤波器的设计，在缺省情况下该函数将生成一个几乎完全中心对称的滤波器，也可指定变换矩阵从而获得