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若用格式 其中下山因子 合适地选取使得 就得到牛顿下山法。 若用格式 ，其中 是 的简单 修正，且满足 则得到Broyden算法。特别，若取 ，其中 u,v 是待定的列向量，使其满足上式，则得到秩一Broyden算法。 比如 小结 1、本章的目的是求解形如 f (x)=0 的方程，而其核心方法是 将所要求解的方程变形为 x = ? (x)，利用 ? (x) 为压缩映射， 通过迭代求出其解。 2、变形中切记要恒等变形！ 3、在恒等变形中，为使变形得到的函数? (x) 为压缩映射，一 个技巧是利用待定参数。 4、恒等变形的一种重要格式是牛顿迭代，证明其迭代收敛阶 的一个常用技巧是泰勒展开。 5、n维空间中代数方程迭代求解的收敛条件是谱半径小于 1 . Newton-Krylov subspace methods 作业 教材P93页习题10、11 * * * 数值分析 朱立永 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 Email: numerical_analysis@ Password:beihang 答疑时间：星期四下午2:30－5:30 答疑地点：主216 第十讲非线性方程组的迭代解法 第三章非线性方程与非线性方程组的迭代解法 常用的求非线性方程根的方法回顾 二分法（对分法、有哪些信誉好的足球投注网站法） 不动点法 （简单迭代法、压缩映象法）及其加速算法 Newton方法及其变体 计算框图为： 对分法（二分法）：利用连续函数的性质进行对分 简单迭代法（线性收敛） 迭代法的构想 从一个初值x0出发，计算 如果 {xk}收敛，即存在x*, 使得 则由 得 即 x*是 φ(x)的不动点，也就是 f(x) 的根。 简单迭代法的变体：Steffensen加速收敛方法 至少二阶收敛 速度 Newton 迭代法 （二阶收敛） 非线性问题的最简单解法是线性近似. 将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼 近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想。 计算步骤（框图）： Newton 迭代法的变体：割线法（简化牛顿法）（1.618） Newton迭代法需要计算f(x)的一阶导数，对复杂的函数，特别是多元隐函数，求导数或偏导数是一个相对繁琐和复杂的，往往采用近似计算的办法！ 在Newton迭代法中用 来近似f(x)在xk处的一阶导数 由此得到的算法叫割线法。 Newton 迭代法的变体：单点割线法（一阶） Newton迭代法需要计算f(x)的一阶导数，对复杂的函数，特别是多元隐函数，求函数值是计算量比较大或者比较繁琐，尽量减少函数值的计算！ 在Newton迭代法中用 来近似f(x)在xk处的一阶导数 由此得到的算法叫割线法。 牛顿下山法： 目的是解决初值的选取范围太小这一困难。 构造迭代格式为： 其中的参数满足： 这个方法称为牛顿下山法。其中的参数称为下山因子： 通常取 ，然后逐步减半。 牛顿下山法当 时，只有线性收敛速度，但对初值的选取却放的相当宽。 非线性方程组的解法 含n个方程的n元非线性方程组的一般形式是 非线性方程组的一些基本概念 上面的方程组化为：F(X)=0 例子： 将方程组 F(X)=0, 写成与之等价的形式:X=G(X), 然后再利用 X(k+1)=G(X(k)), k=1,2,…,求解原方程的根。 简单迭代法 x=0.0 y=0.0 10 x1=x y1=y x=0.25*(1+y1-0.1*exp(x1)) y=0.25*(x1-0.125*x1*x1) write(10,*) x,y if ((abs(x-x1)+abs(y-y1)).lt.0 then goto 15 endif goto 10 15 end 简单迭代法的收敛性 Newton迭代法 计算步骤（框图）： k x (k) 0 1 2 3 (1.5, 1.0)T (1.5, 0.75)T (1.488095, 0.755952)T (1.488034, 0.755983)T 例：用牛顿法解方程组 取初始值（1，1，1），计算如下 N x y z 0 1.0000000 1.0000000 12.1893260 1.5984751 1.3939006 1.8505896 1.4442514 1.2782240 1.7801611 1.4244359 1.23929