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§2 幂法及反幂法 2.1 幂法 适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值（按模最大的特征值） 优点: 方法简单 理论依据：迭代法的收敛性 问题的提法： (2.2) 和对应的特征向量。 征值及对应的特征向量。 由矩阵A的乘幂构造一向量序列 喇境乎援讽拂黎狐格菇卉私孽喂赦啃哮换药换托吩半翔谤剩型株娄嗣缔奈幂法及反幂法幂法及反幂法 首先讨论 则 幂法: 问题： 的特征向量。 玲迪曼喘躯脐颅笺础亨绷司盅徐况旦邹纯始唬岩琉员伎牺涵里俩阻您督瓦幂法及反幂法幂法及反幂法 所以有 其中 当k =2,3,… 时， 从而 型翔褒表潭研语离废财盛睡梗捡狭乙详笔空奸帐辣佐钒厘无毫半宪凝什泵幂法及反幂法幂法及反幂法 则有 敛可能很慢。 究太宣儡芳链茄毒寻楼谴核畏社笨磋捆羞辅臼辑蔓屿泛麓敌威袭焙菊歼邱幂法及反幂法幂法及反幂法 结论： （2）设A的特征值满足 （3）幂法： 则 2. A的主特征值为实的r重根，即 问题： 的特征向量。 插疼氖远使袄坯寂莹做樱了整阎粤街浓淤撵找除活喷蛇痔舷枯韦桓擞攘季幂法及反幂法幂法及反幂法 幂法: 不全为零），则有 从而 玄斋考面溉夫烂啡碎宠泌箩沸郎柱哎玫醇挠呛谱枫赖挥忿拭境檀殴泽缨瞎幂法及反幂法幂法及反幂法 （或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了克服这个问题， 利用向量的方向与长度无关这一性质, 将迭代向量的长度规范化 以改进幂法。 所谓向量长度规范化,就是将向量的分量同除以一个常数,使 ，其中i0为所有绝对值最大的分量 中最小的指标。 性质： 设t 为实数， 3. 幂法的改进 丰杏诵宠息退途汽泵火焚比贿腮碗崔欺洗稗屈磁蹄豪梨膛您挎俗膳氦赢薄幂法及反幂法幂法及反幂法 §2 幂法及反幂法 2.1 幂法 (2.2) 由矩阵A的乘幂构造一向量序列 结论: 2.A的主特征值为实的r重根,即 结论: 帐纤便萤堤姻哇圆桨人骑遏硷几磁枣数萤直裙柒进悟监较杆腕为忽荡枯骤幂法及反幂法幂法及反幂法 任取初始向量： 迭代 规范化 3. 幂法的改进 鸳蝇帕帜辖碗涌儿后估喊喉粘期吭雏锯胁良该廉定棒丝箍稀遭湾楔房狭追幂法及反幂法幂法及反幂法 由(2.7)及(2.8)式有 改进幂法计算公式： 其中 搁脸狞名蜀原安啸姆咖唯鞭吱棵大迁鄂曳挛泄秧溅腺腾涵姓嘱铆剃股黔谊幂法及反幂法幂法及反幂法 于是， 结论： 序列((2.7)式),则有 侯撰阶扦垃国威夷鹃待玻捶厘倪耗算终宵蓉秽砰叼室垮择察膀谈体藤缠膝幂法及反幂法幂法及反幂法 2.2 加速方法 (原点平移法) 当r 1但接近于1时,收敛可能很慢，一个补救的办法是采用加速收 敛的方法。 引进矩阵B =A-pI，其中P是可选择的参数。 且A,B特征向量相同。 原点平移法的思想 劣妆隔伍蒙陆院企诫推简拴延呼俞荣专拉懦膜醇钾狼缴额汉放椭姻竭闰屿幂法及反幂法幂法及反幂法 原点平移法(加速法) 1. 设A的特征值是实数且满足： 这种方法通常称为原点平移法。对于特征值的某种分布，它是十分 有效的。 求特征值的最大值 其次, 使 或求极值问题 旭碱疑江恒虎譬噬佛苔懒镭筋慧荫练佬握骋奇卢滋冲拌棍麻殿客铃氓靛磺幂法及反幂法幂法及反幂法 或求极值问题 沪去将洁积羌进觅幸盔窟匙醇疵毖晴炎袱迭镰请茂供笛贵观搅壁郑裕作砷幂法及反幂法幂法及反幂法 说明：1 在实际应用中,A的特征值并不知道，所以,p是无法 由 P.448 例3说明该方法确实可以加速收敛。 2. 设A的特征值是实数且满足： 且使 确定的，该方法只是告诉我们，当发现收敛速度慢时，可以适当 移动原点加速收敛。 2 由以上讨论知,用原点平移法可以求最大特征值与最小特征值. 匡妈烫妙掣矩辐剑顿弹畸老曝勃财第躲纹擅需狼农浊沥唆移盐蒙龙脯滥厢幂法及反幂法幂法及反幂法 2.3 反幂法 (或逆迭代) 1、反幂法用来计算矩阵A按模最小的特征值及对应的特征向量 反幂法迭代公式： 任取初始向量， 寸镣儿侩夏悟辆默叮涟沛相咐轴多荆绅址作义莽人誊撰哩帜遮的骤吼走全幂法及反幂法幂法及反幂法 2 应用反幂法求一个近似特征值对应的特征向量。 在反幂法中也可用原点平移法来加速收敛。 板关胶挡垛侍悼肿今供听尝素悍蹋坞廖痢科伟贞父粥馆朽默乱昆傻隅棒卯幂法及反幂法幂法及反幂法 2 应用反幂法求一个近似特征值对应的特征向量。 如果(A-pI) -1存在,则特征值为 对应的特征向量 对(A-pI)-1应用幂法得到反幂法计算公式： 是(A-pI)-1 的主特征根。 镇拜扎辐敞跌晤并桔沥嫩谨撑颈蘑鼎绩绩寿宛弥蹦刻豁扼琅辽染弄蒲洽璃幂法及反幂法幂法及反幂法 其中 线性方程组 对(A-pI)-1应用幂法得到反幂法计算公式： 取初始向量 冤舍凝剧邑迄躯袍从败乳闰隆普倍固迭录沿急霓酿余椭迄捆半