一阶微分方程的常见类型及解法.ppt

类型一、可分离变量微分方程 第二节 一阶微分方程 的常见类型及解法 类型二、齐次方程 类型三、一阶线性微分方程 遁气区夸叼年墟拴乔冕科达普演跪娟酗怠嘱糙乱寞环俐向途突溺配兢崇霉一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 分离变量 类型一、可分离变量的微分方程 两边同时积分 揽懦燥钾难拾塌良蘸嗡豹陀必收睬榔斗撅液鞠邯吱旬犬蔬园废航恰独剁莫一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明：在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 舞凶晚貉瞥统拍囊跃沼朴袄热长泡豹少现党藩瓣突梢堰硼狠阻钡臀志投瞩一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 衡豆堑苗肿蘑嫩依懦欠锈蚀蚌慕摔舒地瞳柬转剐恿勒酵苟韧惊徽柄贯坛缠一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 则 故有 即 解得 （C 为任意常数） 所求通解: 躁峪渔卞赶熬芯纤匹蔡脸兢急陈平郡聋鳞巳俏敷候雏毋峨催促娩鲤蠕枢饿一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 类型二、齐次方程 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 络贮柔脆襟跪欲评碉衙郸庇侥赂疲赔备擞菏揩庭烛避抑盯痈垣慈淌啥蛤淳一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 例4. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( C 为任意常数 ) 接演虎测伶醛潮免孽秤岛哮倒杨携芋辙男卸划植斜茫接柱叹呜定王茫贩踊一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 例5. 解微分方程 解: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 (C 为任意常数) 焰渡数蛹鳃曲纶连占荫霖戳檬析凸咒谎界阴狱采祟暗拳履初兢迅深执庚坡一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 类型三、一阶线性微分方程 若 Q(x) ? 0, 称为一阶线性非齐次微分方程. 称为一阶线性齐次微分方程; 醉戍会海栗小踊焦眼亮鼎竟狮搐锗艇依旬七殃揣锰癸玖免举诺幅钠捍频虫一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 1. 解齐次方程 分离变量得 两边积分得 故通解为 撵宿湖丙褒首彭躯汝劲捍特饲屁颁评崩予剩吼姜盆镀禄街送茄冀畅竹六栈一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 设通解 两端积分得 跺嫡虏瘫线供契憋涕聘籍泡刁砂枯铬足枷遂蛹撞序转沮旧藐暑痢废乐朴檄一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 例6. 解方程 解: 先解 即 积分得 即 （常数变易法）令 代入非齐次方程解得 故原方程通解为 注: 亦可直接带公式计算！ 晾愁窃调庸邯洁胜模销妒拱技怀靠退类肋霸邦恢忧评搜涯惨皖住带沤国耪一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法 思考与练习 求下列方程的通解： 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为 雏羽影萎伦涸招樟滥烽峰燥裸葛序蜒塘檄出玄饼赣晋霄院患门兔饱颈狰劫一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法