第六章曲线和曲面.docxVIP

第六章 曲线和曲面3、参照Hermite三次曲线的几何形式，试用B[P0 P1 P0u P1u P0uu P1uu]T , 推导相应五次曲线的调和函数和系数矩阵M。解：设Hermite五次曲线的几何形式为： P(t)=a5t5 + a4t4 + a3t3 + a2t2 + a1t + a0 其中 t∈[0,1]按题意，已知曲线两端点的坐标值P0 P1曲线两端点的一阶导数值P0u P1u曲线两端点的二阶导数值P0uu P1uu则求出系数a5,a4,a3,a2,a1,a0则P(t)就可确定； 由于P(t)= a5t5 + a4t4 + a3t3 + a2t2 + a1t + a0 其中 t∈[0,1]P’(t)=5a5t4 + 4a4t3 + 3a3t2 + 2a2t + a1 P”(t)=20a5t3+12a4t2+6a3t+2a2P0=P(0)=a0P1=P(1)=a5+a4+a3+a2+a1+a0P0’=P’(0)=a1P1’=P’(1)=5a5+4a4+3a3+2a2+a1P0”=P”(0)=2a2P1”=P”(1)=20a5+12a4+6a3+2a2 所以 a0=P(0)a1 =P’(0)a2 =P”(0)/2a3 = 10P(1)- 10P(0) - 4P’(1) - 6P’(0) + P”(1)/2 - 3P”(0)/2 a4 =-15P(1)+ 15P(0) +7P’(1) +8P’(0) - P”(1) - 3P”(0)/2a5 = 6P(1)-6P(0) -3P’(1) -3P’(0) - P”(0)/2+P”(1)/2=P(t)=[ -6P(0) + 6P(1) - 3P’(0) - 3P’(1) - P”(0)/2 + P”(1)/2] t5 +[+15P(0) - 15P(1) + 8P’(0) + 7P’(1) + 3P”(0)/2 ] t4 +[-10P(0) + 10P(1) -6P’(0)-4P’(1)- 3P”(0)/2+ P”(1)/2] t3 + [ P”(0)/2] t2 + [P’(0)] t +P(0) 整理得： P(t) = (-6t5 + 15t4 - 10t3 + 1) P(0) + (6t5-15t4+10t3) P(1) + (-3t5 + 8t4 -6t3 + t) P’(0) + (-3t5 +7t4-4t3) P’(1) + (-t5/2+ 3t4/2-3t3/2+t2/2) P”(0) + (t5/2-t4+t3/2) P”(1) 故调和函数为： F(0)= -6t5 + 15t4 - 10t3 + 1 F(1)= 6t5 - 15t4 + 10t3 F(2)= -3t5 + 8t4 - 6t3 + t F(3)= -3t5 + 7t4- 4t3 F(4)= -t5/2 + 3t4/2 -3t3/2 + t2/2 F(5)= t5/2 - t4 + t3/2系数矩阵为： - 66-3-3-1/2 1/2 15-15 8 7 3/2-1 -1010-6-4-3/2 1/2 0 0 0 0 1/2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 09．试求两段三次Hermite曲线达C1和G1连续的条件解：两段三次Hermite曲线分别为： Q1(t1)=a3 t13 + a2 t12+ a1 t1+ a0 t1∈[0 1]Q2(t2)=b3 t23 + b2 t22+ b1 t2+ b0 t2∈[0 1](1)依据G1连续充要条件为：Q1(1)和Q2(0)在P点处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小不等 即 Q1(1)= Q2(0)， Q1’(1)≠ Q2’(0) ,Q1”(1)= Q2”(0)而 Q1(1)= a3 + a2 + a1 + a0 Q2(0)= b0Q1’(t1)=3a3 t12 + 2a2 t1+ a1 Q2’(t2)=