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第八章非标准化期权的解析法定价 马文婧 李娜 阮佳佳 程钰 8.1 全部或无期权 假设执行价格为X，买入一份资产或无效看涨期权，在时刻T所获利润的终值如图8-1所示 在BSM假设下，资产或无效欧式期权的价值为 其中 购买1美元现金或无效看涨期权的期末利润如图8-2所示 在BSM假设下，现金或无效欧式期权的价值为 标准化欧式看涨期权赋予持有人在时刻T按照约定价格X购买当前价格为S的基础资产的权利。 要构建这样一个标准化看涨期权，我们可以买入S单位的资产或无效看涨期权，卖出X单位的现金或无效看涨期权。因此，按照复制定价原则，标准化欧式看涨期权的价值为 1单位资产或无效看跌期权价值为 1美元现金或无效看跌期权价值为 标准化欧式看跌期权赋予持有人在时刻T按照约定的价格X卖出当前价格为S的基础资产的权利。 要构建这样的标准化看跌期权，我们卖出S单位的资产或无效看跌期权，买入X单位的现金或无效看跌期权。因此，标准化欧式看跌期权的价值为 例8-1: 假设你的叔叔告诉你，如果六个月后XYZ公司的股票价格大于100美元，他将给你100美元。XYZ公司股票当前的价格为90美元每股，股息收益率为1%，波动率为20%，无风险利率为3%。你叔叔送你这个礼物的价值是多少？ 8.1.1 全部或无期权的风险度量 γ反映的是资产价格变化所引起的?变化，可利用以下公式来计算： 例8-2: 评价代数方法度量风险的准确性 考虑一份到期期限为六个月、执行价格为50的欧式看跌期权，当前基础资产价格为49，股息收益率为1%，波动率为20%，分别用数值方法和分解方法计算期权的?、γ和维加。假设无风险利率为3%。 首先，利用分解法计算欧式看跌期权的?值。 用数值法计算： 令资产价格变化0.1，将BSM看跌期权公式 看做OV函数可得?的代数值为 首先，对于完全亏损的期权，?值接近于0。 其次，完全盈利的期权?值接近于1。 再次，资产或无效看涨期权（不同于标准化看涨期权）盈亏平衡时的?值远大于1，并随着到期期限的缩短而增长。 8.2 跳跃式期权 在不存在无成本套利机会的情况下，跳跃式看涨期权的价值为 其中 跳跃式看跌期权的价值为 关于跳跃式期权，注意：当执行价格和触发价格的差额（即间隔）变大时，跳跃式看涨（看跌）期权的价值下降（增加）。 图8-7绘出了不同执行价格下跳跃式看涨期权和跳跃式看跌期权的价值 8.3 支付未定式期权 假设要对支付未定式欧式看涨期权定价，考虑以下一份资产组合的回报： 买入一份标准化看涨期权；卖出一份现金或无效看涨期权，且现金额等于支付未定式期权的当前价值c或有支付。 T时刻，资产组合的终值为：（1）如果STX，终值为0，（2）如果ST=X，终值为ST-X-c或有支付，正好等于所需回报。 时刻0资产组合价值为 但是由于合约无需预先支付期权费，我们必须令组合的初始价值等于0，然后求解或有期权费。 Contents 8.4 未来生效期权 定义：类似于标准期权，也有执行价格X和到期期限T，但是期权的有效期开始于预先约定的时期t后。 未来生效期权 未来生效期权的执行价格在时刻t确定，一般来说，执行价格X等于t时刻的资产价格（St）乘以α。 即X= α ·St，则期权在t时刻 α=1时， X= St， 期权盈亏平衡 α1时， X St, 看涨期权亏损 看跌期权盈利 α1时， X St, 看涨期权盈利 看跌期权亏损 未来生效期权 未来生效看涨期权定价： 用期权未来价格的现值 未来生效期权 例8-5：未来生效的看涨期权的定价 计算一份到期期限为九个月、亏损率为10%的欧式看涨期价 值，以及到期期限为九个月、三个月后开始生效的欧式看涨 期权的价值，并比较两个数值。假设基础资产价格为60，股 息收益率为1%，波动率为30%，无风险利率为4%。 T=9/12=0.75, t=3/12=0.25, S=60, i=0.01, 未来生效期权 到期期限为九个月的普通欧式看涨期权价值为 8.5 棘轮期权 定义：棘轮期权是一系列的未来生效期权，每个期权到期，会建立一个新期权，执行价格等于当时资产价格乘以预先约定的常数α。 每月支付一次的一年期棘轮期权通常有12次支付（支付日）,每个一月期期权的执行价格通常在每月月初设定，因