高一数学《集合与函数》习题.docVIP

集合与函数 1、已知集合，试用列举法表示集合A. 解：是4的约数，，故A= 2．已知集合，集合．若BA，则实数＝ . 解：由得 3、已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值. 解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1. 当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去； 当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去. 若2ax2-ax-a=0. 因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有. 经检验，此时A=B成立. 综上所述 4．设集合，则满足的集合的个数是（ C ）. 　　A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 5、已知集合，.若，求实数m的取值范围. 解：若B为空集，则得；若，则得，所以. 6、集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x-1A且x+1A，则称x为A的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的4元子集. 解：将S的4元子集A按从小到大的次序排列A={a,b,c,d}.A没有孤立元素，那么如果a=0或者d=,必须b=1或者c=，否则0或就是孤立元素。a=0,b=1时，如果没有孤立元素，c,d必须是相连的数字。有种方法取c,d。同样如果c=,d=5，也有种方法去a,b。考虑到重复计算的一种，所以有种办法去取a,b,c,d使a=0或者d=6,而且没有孤立元素。如果a,d4.，则只有。因此总共无孤立元素的4元子集有个。 （2）设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A、B的运算：A*B={x|x∈A，或x∈B,且xA∩B}，则(A*B)*A等于（ B ） A．A B．B C． D． （3）已知集合A={|且，N，N*，≤100}，试求出集合A的元素之和. 解：，，所以 8、已知函数. 求：（1）的值； （2）的表达式 解：（1）由，解得，所以. （2）设，解得，所以，即. 9、已知函数的定义域为，则的定义域为（ C ）. A． B． C． D． 解：得 10、已知函数，同时满足：；，，，求的值. 解：令则那么，若，令，得则，这是不可能的，故，从而.令，则 所以 11、已知f(x)= ，求f[f(0)]的值 解：∵ ， ∴ f(0)=. 又 ∵ 1， ∴ f()=()3+()-3=2+=，f[f(0)]=. 12、（1）设集合，. 试问：从A到B的映射共有几个？ （2）集合A有元素m个，集合B有元素n个，试问：从A到B的映射共有几个？ 13、二次函数在区间(∞，4)上是减函数，你能确定的是（ C ）. A. B. C. D. 14．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为（ B ）. 　　A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 15．已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时， . 解： 因为是定义在上的偶函数，所以= 16．已知函数，求在区间上的最大值. 解：f(x)的对称轴x=4. 当t+14即t3时，，当t4 t+1即3t4时，， 当t4时， 17、已知函数在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值 解：令，函数的对称轴为，当即时，=解得 当即时，=，无解 当即时，=解得 18．已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件：对于任意的x、y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y). （1）求证：f(0)=0； （2）求证f(x)是奇函数，并举出两个这样的函数； （3）若当x≥0时，f(x)＜0. （i）试判断函数f(x)在R上的单调性，并证明之； （ii）判断方程│f(x)│=a所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围. 解：（3）（i）设，则.那么即，所以为减函数。 （ii）的图像过原点且关于y轴对称， 当时，y=与y=a无交点，│f(x)│=a无解 当=0时，y=│f(x)│与y=a有一个交点，│f(x)│=a有一个解 当0时，y=│f(x)│与y=a有两个交点，f(x)│=a有两个解 19、已知，讨论函数的性质，并作出图象. 解：的定义域为R,且为奇函数。 设，则=， 当1时，，为减函数 当时，，增函数 当时，，减函数 2