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第八章 —矩阵 一 内容概述 1 基本概念 1— 矩阵 设p是一个数域，是一个文字，则称以数域P上的多项式作为元素的矩阵为—矩阵，记为 A（）,B()等。 2—矩阵的运算：加法，减法，乘法，数乘和转置等，伴随矩阵，行列式，—矩阵的秩。可逆—矩阵，—矩阵的初等变换，—矩阵的等价。 3行列式因子：设m*n的 —矩阵A()的秩为r，对于正整数k,1kr在A()中所有k 级子式的首项系数为1的最大公因式称为 A() 的K级行列式因子。记为D(). 4—矩阵的标准形，不变因子 r1,d()(i=1,2….r)是首项系数为1的多项式且d()|d()(i=1,2,…r-1)称为A() 的标准形。 d(),d(),…d()称为A() 的不变因子。 5)行列式因子与不变因子的关系：D()=d()…d()k=1,2,…r. d()=D() d()=K=2,3…r 6)初等因子，设 A与 n*n 矩阵，把A 的每个次数大于0不变因子分解成互不相同的一次因式之方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）称为A 的初等因子。 A的初等因子和不变因子相互唯一决定。 7）若当标准形 J为若当块 矩阵等价的充分必要条件： 设A与B都是sn的--矩阵 则AB 〈=〉PAQ=B其中P和Q都是可逆矩阵 (A与B有相同的标准形 〈=〉A 与B有相同的行列式因子 〈=〉A与B有相同的不变因子 3．矩阵相似的充分必要条件： 设A,B都是n阶方阵则 〈=〉E-AE-B 〈=〉A与B有相同的初等因子 〈=〉A与B有相同的不变因子 〈=〉E-A与E-B有相同的标准形 4矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件： 有个线性无关的特征向量 初等因子全是一次的 最小多项式无重根 5如何求矩阵A的若当标准形。方法步骤； 利用出倒变换把 E-A化成对角形，分解主独角戏上的多项式就得到E-A 的全部初等因子 相应于每个初等因子作出一个m 阶若当块 把全部若当块合起来 既求得矩阵A的若当标准形. 二． 例题选讲。 例1下列 阶矩阵 是否为满秩矩阵？是否可逆矩阵？若可逆试求其逆。 A=; (2)A= 解（1）==-2！=0秩=3但不可逆 （2）==2!=0秩=2且可逆 ==亦可用初等变换法求逆。 例2 求矩阵A = 的标准形 解； 因为 A 所以，的标准形为diag(1,,+) 3 求矩阵A =的不变因子与行列式因子 解 由于A的左下角有一个n-1阶子式等于非零常数 故D=1 从而d=d=…=d=1而=+a+…+a+a=f 故d=D=f 例4 证明A 与A’相似从而有相同的特征值，但特征向量不一定相同 （东北师范大学） 证：设A为n阶矩阵，且E-A 的不变因子为d,d,…d .那么存在可逆矩阵P,Q使PQ= 例5 求A=的最小多项式 解 E-A= (1) 由 (1)有=1D=1即d=d=1 从(1) 还可以得到D= 而D== d==-16-20 故A 的最小多项式为-16-20 例6 求 A的全体零化多项式集，其中 A= （大连理工大学） 解： =4A令g(x)=-4x 则g(x) 是A的一个零化多项式 设A的最小多项式为m(x) 则m(x)|-4x 而 -4x=x(x+2)(x-2) 因此 g(x) 首项系数为1的一切因式x,x+2,x-2,+2x., -2x,-4, -4x 而这些因式中零化多项式只有-2x,和-3x m(x)=-2x 再设 A的零化多项式为M 则M= 证明：相似矩阵有相同的最小多项式（湖北大学） 证 设A~B 即存在可逆矩阵T 使B=AT设m,m分别为A与B 的最小多项式 且设 m=+b+…+b+ 0=m=+b+bB+bE=TT m=0,m是 A的零化多项式，而m是A的最小多项式 同理可证m|m又由其首项系数均为1，故m=m 例8设 A= 证明：有理数多项式f(X)使F(A)=0的充分必要条件是f(x)为 -5x+3的倍式。 证：先求A=的最小多项式XE-A= D=1 d=1 d==x-5x+3 即A的最小多项式为x-5x+3 有理系数多项式f(x) 使f(A)=0((x-5x+3) |f(x) 即f(x) 为x-5x+3的倍式 例10 求 C= 的若当标准形 解 E-C= 由于3阶子式==-4,== =1 D=1 d=d=d=1 d== 即A的初等因子为 故 A的若当标准形为 例11 求 A=的若当标准形 解 E-A= 由于3阶子式== == 由于=1 D=1 d=d=d=1 而D== d=D= 例12 设4阶方阵A满足A+A-E=0且=2求A的Joedan标准形。 解 由AA= A