解排列组合应用题的多种策略及常现情景教师版.docVIP

解排列组合应用题的策略与常现情景 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一、运用两个基本原理 “分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成， “分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 ①4名同学参加跳高,跳远和100米跑三项决赛,争夺三项冠军,则冠军结果有( )种 ②7名同学报名参加三个体育项目的比赛,要求每位同学限报一项比赛,则共有多少种不同的报名方法 ③一个书包内装有5本不同的小说，另一书包内有6本不同学科的教材，从两个书包中任取一本书的取法共有 ( ) A．5种 B.6种 C.11种 D.30种 ④教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有（ ）种走法？ A．8 B.23 C.42 D.24 ⑤某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有（ ）种安排方法 A．8 B.6 C.14 D.48 ⑥将三封信投入三个信箱，可能的投放方法共有( )种 A.1种 B.6 C.9 D.27 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们 都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理。 二、特殊元素（位置）优先 例2 从a,b,c,d,e这5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子中，问共有多少种不同的放法？ 解法一（元素分析法，b为特殊元素）先排b，但考虑到取出的4个元素可以有b,也可以没b,所以分两类：第一类，取出的4个元素中有b,则排b有A种方法；再从a,c,d,e中取出3个排另外三个格子有A种所以此类共有A种。第二类，取出的4个元素中没有b，则!有A种方法，所以共有A+ A=96种放法. 解法二（位置分析法，第二格为特殊位置）先排第二格，有A种（从a,c,d,e中取一个）再排另三格有A种，所以共有A.A种放法。 解法三：（间接法） 三、捆绑法 例3．计划在一画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须排一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） A B C D 解：油画整体、国画整体、水彩画个“元素” 先排，考虑到水彩画不能排两端，所以有种方法，又幅油画的不同陈列方式有种，幅国画陈列方式 有种，因而，画展的不同陈列方式 有种，故选D. 四、插空法 例4、道路边上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有7盏亮3盏暗，又两端不能暗，问题等价于：在7盏开着的路灯的6个间隔中，选出3个间隔各插入3只关掉的路灯，所以关灯的方法共有种。 练： （1）三个学校分别有1名，2名，3名学生获奖，这6人排成一排合影，同校任两名学生不能相邻，那么不同的排法有多少种。（120种） 五、排除法 例5、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 解：由六个面任取三个共有C36=20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件的共有C36-8=12种。故选B。 六、对称比例法 有些排列组合应用题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解。 例6 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于 5000的偶数共有（ ） A．60个 B．48个 C．36个 D．24个 解：全排列为A55，由题意知满足条件的五位数的个位