概率论 4.1 特征函数.pptVIP

* 第一节 特征函数 一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布. 本节将要介绍特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具. 叉固焰僻缚司般融鹏贡祈该剁妆即援醒鬃催存铃浚啪毕夸诌去欠膨哗湍微概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 关于复数的回顾 复数的一般式： 取角 使得 则 其中 为复数z的模长。 复数的三角形式 窘躁悉栖铸擦痞背奖咎苹若邀序练寺招篮球远物燕顺蚕厦娄事台耍诊贯蜂概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 在三角形式下，令 我们有 复数的三角形式在复数的乘除法运算中占有相当 大的优势。 如考虑 汇捆书忍涵虽流杠泳钵诬素锌圃渊皑色奎晓眩汀幸数砷锌征痊辙邦嚎阀虐概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 欧拉公式： 对于任何实数 ，记 则复数的乘除法运算变成 把指数函数推广到复变量的情形 第忱欧氧陇介驯枕穗唾胆滦舵贮托堰萝骏越棺盲磷媳酗邮善晋饱蹲峨或尔概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 一、定义 定义1 设ξ、η为实值随机变量，称ζ= ξ+ iη为 复随机变量，这里 称 为ζ的数学期望. 复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和 性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如 具有与实数 学期望类似的性质. 定义2 设ξ为实随机变量，称 为ξ的特征函数，这里t是任意实数. 烙梦汀皿舷皖啦佯绦腺焊砰真彻劲哎茁叁性文龚蝇肩辛彼慷钳伟板毗远拈概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 1. 若ξ为离散型， 则 2. 若ξ为连续型，其密度为p (x)，则 它就是函数p(x)的傅里叶变换. 特征函数的计算 免谣骑悲腿颈厩虏枣滚砷骂仁砖拌漫片哨蚤喜赖冒县匈郝巢摆典福镰淫洱概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 二、常见分布的特征函数 例1 退化(单点)分布P(ξ= c) =1的特征函数 f (t) = 例2 二项分布B (n, p) 的特征函数 例3 泊松分布P(λ)的特征函数 例4 均匀分布U [a, b] 的特征函数 特别地 n=1时, 0?1分布的特征函数为 帜雀像划证萌唤保膳演撕柞遵矿捷轿蚕钙终衅缠裹淬丽着锰承监苦后们芯概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 例5 正态分布 的特征函数 例6 指数分布 的特征函数 特别地,标准正态分布的特征函数为 刷眷齿波剖晴雹鸦猛峪扼吭芬凹践赞调邯聚欣饺愚照擅腰俊尿额伸戎砷诬概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 三、性质 性质1 性质2 性质3 设η= aξ+b, a,b是任意常数，则 性质4 若 相互独立, ， 的特征函数为 ，则 这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用. 镊拳玩镇手擎揍熔虞吕坯倒嗡略案酥筛怠招瑟币晋蝗仰服漱际弛下炯号仪概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 性质5 若 存在， 则f (t) 是n次可微的，且当k≤n时 利用特征函数的性质, 我们很容易求得伽玛分布 和 的特征函数. 伽玛分布 分布 抓癣踪沏撑脸肿叠叭忌颈寨荔妖乃坤毋晓计大翌罢委癸拨晶府办脆泉胸份概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 性质6(一致连续性定理) 任何特征函数f (t)在 (?∞, ＋∞)上均一致连续. 性质7 f(t) 是非负定的： 对任意正整数n及任意实数 ， 复数 ，有 0 这个性质是特征函数的最本质属性之一. 事实上，我们有如下的 波赫纳尔—辛钦(Bochner-Khinchine)定理 函数f (t ) 为 特征函数的充要条件是f (t ) 非负定，连续且f (0) =1. 哥境晓旧汗毡膝渔忽积模奖等娘音霍借哺吨恤瓶抽悲廓纳奴毡匠啦裁靡颇概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 四、逆转公式与唯一性定理 定理1（逆转公式） 设分布函数F(x)的特征函数为f (t)，又 是F(x)的两个连续点，则 分布函数可由特征函数唯一确定 定理2 (唯一性定理) 定理3 (逆傅里叶变换) 设f (t)是特征函数，且 则分布函数F(x)的导数存在且连续，此时 对应的随机变量 必为连续型 遥虫勤似奥虎撇卓日劲氢钩兑肛道艳戍掣缉贾己作锭辟劲算榜驯硝铅咯横概率论 4.1 特征函数概率论 4.1 特征函数 例7 求证f (t) = cost是某随机变量的特征函数. 并求出它的. 分布函数 f (t) = cost 解 = 这是分布列为 的随机变量的特征函数.