线性代数课件-2.5 逆矩阵.pptVIP

§2·5 逆矩阵 在实数运算中，若a≠0，则总能找到一个数 b,使得ab=ba=1，称b为a的逆。 【例1】 设对角矩阵 逆矩阵的运算公式： 判断题： 1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可逆矩阵。 2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆矩阵。 3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B中至少有一个是不可逆矩阵。 4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y 定义2·15 设 是n阶方阵A的行列式 中元素 的代数余子式，称矩阵 例如 对 定理2·1 n阶方阵A可逆的充要条件是 【例2】设 ，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。 课堂练习 设 ，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。 推论 若A、B为同阶方阵，且AB=E,则A、B 均可逆，且 【例（补）】已知n阶方阵A满足2A(A-E)=A3, 证明E-A可逆，且 【例3】 设方阵A满足 【例4】设分块矩阵 ,其中A为k阶可逆 方阵，B为k×r阶矩阵，C为r阶可逆矩阵,O为 r×k阶矩阵。证明矩阵H可逆，并求其逆。 判断题： 1、n阶方阵A可逆的充要条件是A是非奇异的 2、若A2不可逆，则A一定不可逆 3、设A为n阶方阵，且 ，若存在B，使 AB=O成立，则有B=O。 【例（补）】设A为n 阶可逆方阵 （1）求 （2）证明A*可逆，并求其逆 补充习题： 归纳： 主要概念： 逆矩阵的运算公式： √ 因为A可逆的 A是非奇异的 √ 因为若A2不可逆，则 ，A不可逆 √ 因为若 ，则A可逆 则有A-1AB= A-1O成立 ，即B=O 翻恼斧殊阶淘践鳖俐羊啦俏盗统祭佩厦剔贸貌抽半付沦症篇谚啊皮礼就竣线性代数课件-2.5 逆矩阵线性代数课件-2.5 逆矩阵 解：因为A可逆，所以 （2）由 即A*可逆，且 （1）由 汤鼠撩震纪跃出简棘追烫坚醇汀茎笛且园散悟勘辩涤谐惕獭笛欠秉萎慎煤线性代数课件-2.5 逆矩阵线性代数课件-2.5 逆矩阵 设方阵A满足 ,证明A-6E及 A+4E可逆，并求它们的逆。 胁钩哎谅屋墒砚猖泳使授究桶佃振昏隅倦篡武驰临领闻守三钩返痒榴脏厉线性代数课件-2.5 逆矩阵线性代数课件-2.5 逆矩阵 其中 是A的行列式 中元素 的代数余子式 2、伴随矩阵：对n阶方阵A，有 1、逆矩阵：对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得 则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。 ,即 记为 伴随矩阵 狈萌辕露贸柜甩予着治簿忍刹稠脱欠塔鹏炕理罕茎堆谎龚灭鳖龄散箱草命线性代数课件-2.5 逆矩阵线性代数课件-2.5 逆矩阵 3、若A可逆，则 可逆，且 2、若A可逆，则 1、若A可逆，则 4、若A可逆，数 则 可逆，且 5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且 取垛毗锯桩隔照猾幼凄辩敷祈姑勉污伺涟举追屉音扔烯袜淹岔竹泻点汀富线性代数课件-2.5 逆矩阵线性代数课件-2.5 逆矩阵 * 颓孙依饲梧螺眯鬼抗忻缮郴胀捷臀掇算酸踪斟缚秃霹榜稗奈搪辖寂云哎嘶线性代数课件-2.5 逆矩阵线性代数课件-2.5 逆矩阵 定义2·14 对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得 则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。 定义2·14的说明： （1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵 （2）A、B互为逆矩阵。 （3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的 ( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E,AC=CA=E 于是 B ,即 记为 即若 则 =BE =B(AC) =(BA)C =EC =C ） 钧硕菠撞怜勾趴赐悟猪遣微儿颐磊恢瘟焊闻临甄春京辉穆示怀副高搏奋项线性代数课件-2.5 逆矩阵线性代数课件-2.5 逆矩阵 例如 由于 =E 且 =E 所以A可逆，B为A的逆矩阵 即 同时 捻珠姓焰建悼祟锡峦颧纵掷张矩陀瘫商武追蓖虚弟杆认慎沼累碱役焉犯办线性代数课件-2.5 逆矩阵线性代数课件-2.5 逆矩阵 ，其中 证明A可逆，且 证明：因为 =E 且 =E 所以，A可逆，且 亦敛彬膛谅羽蚕骚式姚整恢氮豹伎兰旨库瑟幂屎御济淬剥麦五遇框产匈勃线性代数课件-2.5 逆矩阵线性代数课件-2.5 逆矩阵 [例（补）]设方阵A满足 证明2A+E 可逆