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相似三角形解题技巧及口诀
A字形,A’形,8字形,蝴蝶形,双垂直,旋转形
双垂直结论:射影定理:①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项2=AD?BD
⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD?AB
⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD?AB
结论:⑵÷
⑶得AC2:BC2=AD:BD
结论:面积法得AB?CD=AC?BC→比例式
证明等积式(比例式)策略
1、直接法:找同一三角形两条边
变化:等号同侧两边同一三角形 三点定形法
①∠ABC=∠ADE.求证:AB·AE=AC·AD
②△ABC中,AB=AC,DEF是等边三角形
求证:BD?CN=BM?CE.,,四共线,,其中一条转换;ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CFBA, 求证:BP2=PE·PF。 2=BE·CE.
?两共线,,。
AC,D为AB
上一点,E为AC上一点,AD=AE,
直线DE和BC的延长线交于点P,
求证:BP:CP=BD:CE.
④在△ABC中,BF交AD于E.
(1)若AE:ED=2:3,BD:DC=3:2,求AF:FC;
(2)若AF:FC=2:7,BD:DC=4:3,求AE:ED.
(3)BD:CD=2:3,AE:ED=3:4
求:AF:FC
⑤在△ABC中,D、E分别为BC的三等分点,AC边上的中线BM交AD于P,交AE于Q,若BM=10cm,试求BP、PQ、QM的长.
过F做FI//BC,交AD于I,交AE于J
过P做PK//BC交AE于K
F是AC的中点
FI:CD?=?1:2
D,E是BC的三等分点
BD:DE:EC?=?1:1:1
BD;DC?=?1:2
∴IF?=?BD
∴BP?:FP?=?1:1?=?DP:PI
F是AC的中点,FI//BC
I是AD的中点
AP:ABC中,AC=BC,F为底边AB 上的一点,(m、n>0),取CF的中点D, 连结AD并延长交BC于E.(1)的值.(2)如果BE=2EC,那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系?证明你的结论;(3)E点能否为BC中点?如果能,求出相应的的值;如果不能,证明你的结论。AE2=AD·AB,且∠ABE=∠BCE,
试说明△EBC∽△DEB
②已知∽,求证:∽.
③D为ABC内一点,连接BD、AD,以BC为边在ABC外作CBE=∠ABD,BCE=∠BAD,求证:DBE∽△ABC。
④D、E分别在△ABC的AC、AB边上,
且AE?AB=AD?AC,BD、CE交于点O.
求证:△BOE∽△COD.
2、间接法: ⑴3种代换 ①等线段代换; ②等比代换; ③等积代换;
⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型
②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比
遇等积,,找相似;
四共线,;
四共线,,一条转换;
,,。
两边成比
(3)等比代换:若是四条线段,欲证,可先证得(是两条线段)然后证,这里把叫做中间比。
?
斜边上面作高线,比例中项一大片
ABCD
?
2
11
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