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模糊数学与图像处理 模糊数学，顾名思义，就是研究和处理模糊性现象的数学。1965年，美国控制论专家、数学家L.A.zadeh发表了论文《模糊集合论》，标志着模糊数学这门学科的诞生。 经典数学是对界限分明的清晰事物作出非此即彼的判断，其逻辑基础是传统的二值逻辑，即论域中的任一元素要么属于集合A，要么不属于集合A，两者必居其一，且仅居其一。然而在日常生活中，很多事物往往不能简单的以“是”或“否”来界定，比如，年轻与年老，高个子与矮个子等。模糊数学就是以没有明确界限的模糊事物为研究对象的，逻辑基础是连续逻辑，即元素对集合的隶属关系不一定只有“否”或“是”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度。 比如“年老”是个模糊概念，其隶属度函数可以用如下公式表示 40岁的人肯定不算老人，它的隶属程度为 0，55岁属于“老”的程度为0.5，60岁属于“老”的程度为0.8。这样的判断结果让人们更易接受，也更符合人类的思维判断方式。 模糊数学的应用极其广泛，尤其是在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展，如图像和文字的自动辨识、人工智能、音频信号辨识与处理等领域均借助了模糊数学的基本原理和方法，甚至在生物、农业、文化教育、体育等看似与数学无缘的学科，也开始应用模糊数学的原理和方法，如传染病控制与评估、人体心理及生理特点分析、农作物品种选择与种植、教学质量评估、语言词义查找等均有一些应用模糊数学的实践，并取得很好效果。 随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要运用模糊数学的理论把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。例如在文字识别中，每个人的字迹都不相同，字的笔画会有一定程度上的差异，要求对文字的识别没有影响，这就用到了模糊数学的理论。 基于模糊数学的图像处理技术是计算机图像处理中的重要技术。以图像模糊增强为例，简要介绍模糊数学在图像处理中的应用。图像模糊增强主要是采用模糊数学的方法，建立隶属度函数，并对图像进行模糊增强。模糊矩阵I代表一幅灰度值图像， 矩阵中的元素表示像素（m,n)的灰度级相对于最大灰度级L-1的隶属度，在灰度图像中L=256,隶属度函数定义为： 然后对图像进行模糊增强，模糊增强是对进行非线性变换，其结果是增大或减少的值，方法如下： 其中， 取，再对模糊增强后的图像做逆变换， 这样就得到一幅增强后的灰度值图像。 模式识别就是在已知各种标准类型的前提下，判别待识别对象属于哪个类型的问题。但是客观事物的特征存在不同程度的模糊性，使得经典的识别方法越来越不适应客观实际的要求，模糊模式识别正是为了满足这一要求而产生的。模糊模式识别是对传统模式识别的有用补充，能更广泛、更深入地模拟人脑的思维过程，从而对客观事物进行更为有效的分类与识别。以人脸图像分类识别为例介绍模糊数学在模式识别中的应用。 若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某个元素，由于待识别对象不绝对地属于某标准类型，即隶属度都不为1，那么可用最大隶属度原则判断待识别对象相对属于哪一个（些）标准类型。 最大隶属度原则：设X是论域，，，，是n个标准类型， 是待识别对象，若 则认为相对隶属于所代表的类型。 首先对人脸图像进行预处理，如去均值，向量归一化，降维等，得到由独立影像基构成的低维子空间，计算出该子空间的特征向量。定义未知人脸图像矢量归属于Ui类的图像隶属度函数为： 其中Zj是已知人脸图像矩阵的特征向量在低维子空间中的投影，φ是未知人脸图像矩阵的特征向量在低维子空间上的投影。 利用最大隶属度原则进行人脸分类识别，首先计算每个输入人脸图像（测试样本）对各类人脸图像的图像隶属度 μ，若 则判别测试样本为Ui类人脸图像。 目前，模糊数学的理论研究进展迅速，已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支，模糊聚类分析理论、模糊神经网络理论和各种新的模糊定理及算法不断取得进展。模糊数学最重要的应用领域是计算机职能。目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，用模糊数学的命题逻辑和谓词逻辑，使计算机具有类似于人类的模糊思维判断方式，这将极大提高计算机的功能，使计算机能更好的替代人类，做出更加准确，更合乎人类思维的判别。随着模糊数学的深入研究和发展，将会有更多的领域应用到模糊数学的知识。