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高等数学 第八章 空间解析几何 第一节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 2. 向量的减法 3. 向量与数的乘法 4、数轴上的点、向量、实数之间的关系 三、空间直角坐标系 在直角坐标系下 2. 向量的坐标表示 四、利用坐标作向量的线性运算 例2. 已知两点 说明: 由 五、向量的模、方向角、投影 例3. 在 z 轴上求与两点 提示: 设有两点 一般令： 2. 向量与轴的夹角 向量在轴上的投影 4. 投影定理 例5. 设点 A 位于第一卦限, 例6 一向量与 例7 已知两点 例10: 问 例4. 求证以 例2. 定理1. 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量模长的坐标表示式 解: 已知 角依次为 求点 A 的坐标 . 则 因点 A 在第一卦限 , 故 于是 故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 轴组成的角 是它们的两倍,确定这向量的方向。 解：先求方向余弦，再求方向角。 又 又 或 或 和 的模 、方向余弦和方向角 . 解: 计算向量 解 设向量 的方向角为 设向量 已知 ,它与 轴和 轴的夹角分别为 如果点 的坐标为 求点 的坐标。 例8 例9 解: 因 1. 设 求向量 在 x 轴上的 投影及在 y轴上的分向量. 在 y 轴上的分向量为 故在 x 轴上的投影为 2. 设 求以向量 的平行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为 解： 为邻边 是否为单位向量。 解： 则 例11：求平行于 的单位向量 解： * 主讲教师: 王升瑞 第三十六讲 数量关系 — 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数 它将几何问题化为代数运算来研究， 题用几何图形来解释。 这种结合是建立在坐标系的基础上， 表示点、 另外还采用了向量法， 甚为密切： 来计算向量的大小和方向； 解析几何中有关问题的解法得到更加简化。 是用代数方法来研究空间的几何的问题 使“数”和“形”密切地结合起来， 又将代数问 即用有序数组来 用代数方程来表示几何图形。 其与空间解析几何的关系 一方面向量代数需要用解析几何的坐标法 另一方面， 采用向量可使 四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八章 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 如：力、力矩、位移、速度、加速度 （简称向量） （数量（标量）：与方向无关的量 如：长度、面积、时间、质量、温度） （几何上为有向线段的长度） 其方向是任意的 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 向量是从物理、力学中有方向的量抽象出来的。 根据两个力合成的平行四边形法则对向量的加法： 特别： （或共线） 指向相同 方向一致 指向相反 方向与模大的一致 三角不等式 负向量：与 的模相同，而方向相反的向量为 的负向量，记作 两向量 与 的差为 具体的做法：把 与 移到共同的起点后，从减 向量的终点向被减向量的终点引有向线段为差。 ? 是一个数 , 规定 : 可见 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 “ ” 则 已知 b＝? a , b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) a∥b 定理1. 解: ABCD 对角线的交点, 例1. 设 M 为 数轴:给定了原点 方向和单位长度的直线。 由于一个单位向量即确定了方向，又确定了单位长度 因此，只要给定了原点和一个单位向量就确定了一个 数轴。 轴由原点 和单