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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（理工类） 2013.4 一、选择题： 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 A D A C C D A B 二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 答案 ， 1, （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） . …………………………………………4分 因为最小正周期为，所以. ………………………………6分 所以. 由，，得. 所以函数的单调递增区间为[]，. ………………8分 （Ⅱ），所以， …………………………………10分 所以. ………………………………………12分 所以函数在上的取值范围是[]. ……………………………13分 （16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 ． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．…………………………3分 （Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数． 由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是． 所以． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为．……………7分 （Ⅲ）由题意可知，的可能取值为，所以随机变量的可能取值为． ； ； ； ； ； ． 所以随机变量的分布列为 所以．……………………13分 （17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）由已知，， 所以 ． 因为，所以． 而平面，平面， 所以平面． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）因为平面平面， 平面平面，且， 所以平面. 所以，． 又因为， 所以两两垂直． ……………………………………………………5分 如图所示，建立空间直角坐标系， 因为，， 所以 ． 当时，为中点， 所以, 所以． 设异面直线与所成的角为， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为．…………………………………9分 （Ⅲ）设，则． 由已知，所以， 所以 所以． 设平面的一个法向量为，因为, 所以 即 令，得． 设平面的一个法向量为，因为, 所以 即 令，则． 若平面平面，则，所以，解得． 所以当时，平面平面．…………………………………………14分 （18）（本小题满分1 3分） 解：函数定义域为， 且…………2分 ①当，即时，令，得，函数的单调递减区间为， 令，得，函数的单调递增区间为. ②当，即时，令，得或， 函数的单调递增区间为，. 令，得，函数的单调递减区间为. ③当，即时，恒成立，函数的单调递增区间为. …7分 (Ⅱ)①当时，由(Ⅰ)可知，函数的单调递减区间为，在单调递增. 所以在上的最小值为， 由于， 要使在上有且只有一个零点， 需满足或解得或. ②当时，由(Ⅰ)可知， （ⅰ）当时，函数在上单调递增； 且，所以在上有且只有一个零点. （ⅱ）当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 又因为，所以当时，总有. 因为， 所以. 所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增， 从而当时，在上有且只有一个零点. 综上所述，或或时，在上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为， 依题意得解得，. 所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分 （Ⅱ）显然点. （1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以. …………………………………………6分 （2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意. 由得. 设,则. 直线，的方程分别为：， 令，则. 所以，. ……………………10分 所以 . ……………………………………………12分 因为，所以，所以，即. 综上所述，的取值范围是. ……………………………………14分 （20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）. ……3分 （Ⅱ）数的倍与倍分别如下： 其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所