D7参数估计讲义.ppt

引 言 点估计的缺陷: 区间估计的思想: 未能反映出估计值 与真实值θ之间的 误差及可靠性. 对未知参数θ, 构造两统计量 与 使得θ能以较大的概率落在随机区间 内, 由相应 的观测值来估计θ的取值范围. --可信程度 --精确程度 最优区间估计: 可信度给定情况下区间尽量短 一、置信区间的概念及求法 1.定义: 设总体X含未知参数θ, 对于给定的 若存在两个统计量 和 使得 则称 为θ的置信度为1-α的 置信区间. 2.引例: 设总体 未知, 已知, 其中 是X的样本, 求μ的置信度为1-α的置信区间. 解: 因 已知, 含未知参数μ且服从 , 现需找一尽量短的区间, 使 得U落在该区间内的概率为1-α. 由分位数的定义知 即 所以μ的置信度为1-α的置信区间为: 则由抽样分布可知 只包 3.求解步骤: ① 构造样本函数, 要求仅包含待估参数且 它的分布已知; (一般由抽样分布可得) ② 要求样本函数落在以分位数确定的区间内的概率为 1-α， ③ 解不等式得到所求的置信区间. 根据条件， 且满足概率对称; 二、单个正态总体的情形 设总体 是X的一个样本, 对给定置信度1-α, 1.μ的置信区间: 1)当 已知时 由引例可知, μ的置信度为1-α的置信区间为: 求μ和 的置信区间. 2)当 未知时 因为 是 的无偏估计, 所以可以用 代替 则由抽 样分布知 所以μ的置信度为1-α的置信区间为: 即 由分位数 例1. 某厂生产的节能灯寿命 从生产的一批 灯中抽取10只作寿命测试, 1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200 数据如下(小时): 试估计这批节能灯平均寿命的范围(? =0.05). 解: 这是在方差已知的情况下对期望进行区间估计. 因为 从而可得 所以这批节能灯平均寿命?在0.95的置信水平下的置信区 间为[1145.25,1148.75]. (区间长度为3.5) 例2. 若例1中的方差未知, 求这批节能灯平均寿命?的置 信水平为0.95的置信区间. 解: 这是在方差未知的情况下对期望进行区间估计. 由例1的数据 类似得置信水平为0.95的 置信区间为[1084.72,1209.28]. (长度为124.56) 注: 例2表明, 由于对总体的了解少了(方差未知), 在相同的置信水平下估计的效果也就差很多. 因而 2. 的置信区间: 1)当μ已知时 因 已知, 现需找由分位数确定的 则由抽样分布知 只包含未知参数 且服从 , 落在该区间内的概率为1-α. 使得 由分位数定义 的置信度为1-α的置信区间为: 所以 区间, 因为 是μ的无偏估计, 则由抽 样分布知 2)当μ未知时 所以可以用 代替μ, 的置信度为1-α的置信区间为: 类似可得 例3. 从总体 中抽取一个容量为4的样本: 1.3 ?2.78 0.06 1.98 试求 的置信水平为0.95的置信区间. 解: 这是在期望已知的情况下对方差进行区间估计. 因为 信区间为[1.20,27.56]. 所以可得 置信水平为0.95的置 三、两个正态总体的情形 与 且 相互 的一个样本， 为来自 的一个样本， 为来自 对给定置信水平为 设总体 ， 独立， 记 由抽样分布可知： 1)当 已知时 可得 的置信水平为 的置信区间为： 1.求 的置信区间 2)当 未知,但 的置信水平为 的置信区间为: 由抽样分布可知： 可得 其中 例4. 为估计磷肥对农作物增产的作用, 选条件大致相同 的土地20块, 10块施磷肥, 10块不施磷肥, 亩产量(单位Kg) 如下: 不施磷肥: 560 590 560 570 580 570 600 550 570 550 施 磷 肥: 620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 同, 设施磷肥和不施磷肥亩产量均服从正态分布, 且方差相 试对施磷肥平均亩产和不施磷肥平均亩产之差在置 信水平为0.95时作出区间估计. 解: 设施磷肥亩产量为总体X, X与Y均服从正态分布, 方差相同且未知, 依题设条件, 不施磷肥亩产量为总体Y, ? = 0.05 , 所以施磷肥与不施磷肥平均亩产量之差在置信水平为 0.95时的置信区间为[9.23 , 50.77], 这表明施磷肥对提 高亩产量作用明显. 1)当　 已知时 2.求 的置信区间 据抽样分布知： 可得 的置信水平为 的置信区区间为： 2)当　 未知时 据抽样分布知： 可得 的置信水平为 的置信区区间为： 例5. 某车间有两台自动机床加工一类套筒, 假设套筒直 径服从正态分布. 现在从两个班次的产品中分别检查了 5个和6个套