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极限概率及各态遍历性 系统初始状态 m次转移后系统的状态 m次转移概率矩阵 例题： 求各次转移后系统的状态。 当m=1时 当m=2时 以此类推，可得： n次转移概率 转移步数 0 1 2 3 4 5 … e1（正常状态）1 0.5 0.45 0.445 0.4445 0.44445 … e2（故障状态）0 0.5 0.55 0.555 0.5555 0.55555 … 结论： （1）随着转移步数的增加，状态趋于稳定。稳定状态的概率称为极限概率。 （2）当m趋于无穷大时，m步转移矩阵Pm将收敛于一个概率矩阵,称为遍历矩阵。 （3）稳定状态极限概率于初始状态无关。 如果初始状态为 ，m次转移的概率为： 转移步数 0 1 2 3 4 5 … e1（正常状态）0 0.4 0.44 0.444 0.4444 0.44444 … e2（故障状态）1 0.6 0.56 0.556 0.5556 0.55556 … 若： ，则系统状态达到平衡。 行向量 令： 特征向量 系统稳态时，处于各状态的概率。 可用度的马尔柯夫过程模型 基本假设 系统各单元的寿命分布和维修时间分布均为指数分布。故障率l和维修率m是常数； 在时间区间(t, t+Dt)内，未发生故障的单元发生故障的概率是l Dt； 在时间区间(t, t+Dt)内，尚未维修的单元被修复的概率是m Dt ； 在时间Dt内，出现两次或两次以上的故障或修复的概率为0； 每个单元的故障或修复时间是相互独立的。 概述 维修性特征量 马尔柯夫过程 典型可修系统可用性 主要内容 可用性特征量 典型可修复系统的可用度 单部件系统可用度 串联系统可用度 相同单元组成的串联系统 不同单元组成的串联系统 并联系统可用度 相同单元组成的串联系统 不同单元组成的串联系统 典型可修复系统的可用度 单部件系统可用度 一个单元组成的系统（或把整个系统当作一个单元来研究）。 系统可能的状态： 单元故障，系统停机修理 单元正常，系统正常 状态转移图 单部件系统可用度 符号规定： t时刻系统故障的概率 t时刻系统正常的概率 单部件系统的初始状态 (正常) 状态转移图 单部件系统可用度 由全概率公式： 单部件系统可用度 瞬时可用度 稳态可用度 求解微分方程 由于P1(t)是系统处于工作状态的概率，也就是系统的瞬时有效度A(t)。 求稳态可靠度的另一种方法 状态向量 设x1 （t）代表t时刻系统正常的状态的概率 设x0（t）代表t时刻系统故障的状态的概率 状态转移矩阵P 足够长时间后，系统取各个状态的概率达到稳定状态 稳态可用度 典型可修复系统的可用度 单部件系统可用度 串联系统可用度 相同单元组成的串联系统 不同单元组成的串联系统 并联系统可用度 相同单元组成的串联系统 不同单元组成的串联系统 相同单元串联可修系统的可用度 n个相同单元组成的串联系统 n个单元正常，系统正常 1个单元故障，系统因故障停机 n个相同单元组成的串联系统 稳态可用度 瞬时可用度 相同单元串联可修系统的可用度 两个不同单元串联可修系统的可用度 设串联系统由两个单元组成，两个单元的失效率和修复率不同。 该可修串联系统可能有的状态 2个单元都正常，系统正常 第1个单元故障，第2个单元正常，系统修理 第1个单元正常，第2个单元故障，系统修理 系统状态向量 状态转移矩阵 两个不同单元串联可修系统的可用度 令 稳态可用度 串联可修系统的可用度 n个不同单元组成的串联系统 稳态可用度 典型可修复系统的可用度 单部件系统可用度 串联系统可用度 相同单元组成的串联系统 不同单元组成的串联系统 并联系统可用度 相同单元组成的串联系统 不同单元组成的串联系统 2个单元都正常，系统正常 1个单元故障（立即维修），1个单元正常，系统正常 2个单元故障，系统修理 两个相同单元并联可修系统的可用度 该可修并联系统可能有的状态 系统状态向量 稳态可用度 状态转移矩阵 两个相同单元并联可修系统的可用度 配置一个维修组，每次只能维修一个单元。 并联可修系统的可用度 n个相同单元的并联可修系统，有一组维修人员 稳态可用度 状态转移矩阵 两个相同单元并联可修系统的可用度 配置两个维修组，当两个单元都故障时，分别对两个单元同时进行维修。 两个不同单元并联可修系统的可