菱形的判定方法.pptVIP

拓 展由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，我们还可以得到判定菱形的方法：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形． 但是因为课本没有给出这个判定方法，所以我们不能直接使用，比如以前学过的“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行” * 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 边 对角线 角 菱形的定义 菱形的性质 菱形 菱形的两组对边平行 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平分 且每一条对角线平分一组对角。 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形。 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法 AB=AD ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形 探究活动 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 　已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形． 证明：∵ DE∥AC，DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∠2=∠3 ∵ AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴EA=ED（等角对等边） ∴四边形AEDF是菱形.(有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 A B C D O 命题2：四条边都相等的四边形是菱形 命题3：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 想一想：这些逆命题都成立吗？如果成立的话 怎么样才能证明呢？ 命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. A B C D 已知：在 中，AC ⊥ BD ABCD ABCD 求证： 是菱形 证明： ∴ ABCD是菱形 又∵ AC ⊥ BD; ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC ∴BD垂直平分AC ∴ AB=BC O 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定定理1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD ∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形 A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 数学语言 例题：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD相交于点O，且AO=3，BO=4，AB=5。 求证：四边形ABCD是菱形。 A B C D O 证明：∵ AO=3，BO=4，AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴△OAB是直角三角形 ∴AC⊥BD 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行 四边形是菱形) 命题：有四条边相等的四边形是菱形。 已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形 D A B C 证明： ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形 定理：有四条边相等的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形. AB=BC=CD=DA A B C D 菱形ABCD ∵在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 四边形ABCD A B C D 判定定理2： 数学语言 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。 H G F E D C B A 证明：分别连接AC、BD ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∵点E、F、G、H为各边中点 ∴EF=FG=GH=HE ∴四边形EFGH是菱形 命题：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 . A B C D 证明： O 已知：在四边形ABCD中，AC分别平分∠BAD和∠BCD，BD分别平分∠ABC和∠ADC 求证：四边形ABCD是菱形 ∵ AC分别平分∠BAD和∠BCD ∴∠BAC=∠DAC ∠ACB=∠ACD 又∵AC=AC ∴△ABC≌△ADC（ASA） ∴AB=AD BC=DC 同理可证AB=BC ∴AB=BC=DC=AD ∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 四条边相等 五种判定方法 四边形 平行四边形 菱形 小结： 矩形与菱形 定义 菱形 矩形 有一角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 平行四边形的性质 性质 边 角 对角线 四个角都是直角 相等 互相垂直且平分每一组对角 判定 有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 四条边都相等的四边形 四条边都相等 *