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量子力学基础一 已知宽度为的一维无限深方势阱中粒子的波函数为 ， （1）求粒子在处出现的概率密度； （2）在范围内，粒子出现的概率。 解：（1）粒子在处出现的概率密度为 （2）在范围内，粒子出现的概率为 2. 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，如图所示为粒子处于某一能态波函数的曲线。写出粒子出现概率最大的位置。 解：显然，这粒子处于的第2激发态的波函数，为正弦函数， 的极大值出现在处。 另解：由波函数曲线，得到非归一化的波函数为 则粒子概率密度函数为 令，得到，即，因此 但只有处，具有极大值。 或者，直接由波函数曲线得到，在处，具有极大值。 3 设一维运动粒子的波函数为 其中为大于零的常数。试确定归一化波函数的值。 解：由归一化条件，，得，得 ，，　 4 在宽度为的一维无限深方势阱中运动的粒子定态波函数为 求：（1）基态粒子出现在范围内的概率； （2）主量子数的粒子出现概率密度最大的位置。 解：(1) 基态，主量子数时，（0，）区间粒子出现的概率 （2）时，波函数为 ， 概率密度函数为 当，为概率密度最大处， 则在内，在和处概率密度最大。 5 若氢原子处于主量子数的状态， （1）写出其轨道角动量可能的取值； （2）对应的状态，写出其角动量在外磁场方向的投影可能取值。 解：， （1）则，则轨道角动量的可能值为 时，， 则角动量在外磁场方向的投影可能值为 6 已知电子处于态，（1）写出其轨道角动量的大小；（2）问：主量子数是多少？ 解：态，、，则 （1）轨道角动量为 （2）主量子数为 7 微观粒子的角量子数 （1）求角动量； （2）写出所有可能的磁量子数及相应的； （3）在图中画出其余可能的矢量 （轨道角动量在磁场空间量子化的示意图）， 并标明各自对应的值及值。 解：角量子数 （1）轨道角动量为 （2）所有可能的磁量子数为 相应的轨道角动量在磁场中的分量为 （3）由此，可以画出轨道角动量 在磁场空间量子化的示意图 8 已知原子中下列电子的量子数，对每一个原子的能量进行测量，写出可能测到的波函数（即能量本征态）的数目： (1) ，， _______种 (2) ，， _______种 (3) , _______种 (4) _______种 答：2，=3，=10，=8； 解：（1），，，但还有两个值，即，所以有2种状态。 （2），，，但还有个值，即，所以有3种状态。 （3）, ，但还有个值，还有两个值，所以有10种状态。 （4），则有2个值；有4个值：时， ，时，； 还有两个值，即总共有种状态。