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第七章 定积分 ( The definite integration ) 第十九讲 定积分在几何方面的应用 课后作业： 阅读：第七章 7.1: 7.2, 7.3: pp198---210; 预习：7.4: pp. 211---215; 7.5: 215---219 作业: pp.201---202: 习题 7.1: 1, (1), (8); 2; 4; 6; 7; 8(2); 10. pp.210---211: 习题 7.2: 2; 4; 5; 9; 10; 13. 习题 2(2); 4; 6; 9 7-1 定积分在几何方面的应用 7-1-1 定积分应用的两种思想 定积分问题的持征： 定积分量是区间的函数:，具有对区间的可加性: 即，若和内部之交为空集, 则有 。 解决定积分问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 分小取近似: ; 求和取极限: 微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 分小取微分: ; 积分求增量: . 7-1-2 定积分在几何方面的应用---求平面图形的面积： 1)平面图形的面积是什么？ 看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。 设欲度量的图形为，通常做法是用两种多边形和, 其面积分别为 , 使得 : : 取 最小上界；最大下界。 如果有, 显然可认为图形的面积是. 2)各种坐标系下的计算公式？ 在直角坐标系下： ; , 其中， 在参数方程表示下： , = 在极坐标系下： ; 3) 例 例1 : 双曲线,, 求双曲线弧MNPM 所围图形的面积。 因 所求面积 进一步： , 由 ; 解出：. 特别是当时, =. . 此时，, 这就是叫做双曲函数的原因。 而园 , 所以三角函数又叫圆函数。 例2: , , 椭圆渐屈线所围面积。 时椭圆渐屈线的图像 解： = 例3, 求叶形线在第一象限中的面积。 化成极坐标。, . 时叶形线的图像 设, 利用广义积分可得： . 定积分在几何方面的应用---求曲线的弧长： 1, 曲线的长度是什么？ 非封闭曲线的弧长可作为其内折线长, 在子弧最大直径趋于零时的极限。 2, 各种坐标系下的计算公式？ 在直角坐标系下： ; 在参数方程表示下： , 在极坐标系下： ; , 3)例: 例1, 悬链线的弧长. . 例2, 星形线的弧长. = 例3, 椭圆的弧长. ( 容易计算椭园面积是：.) 用参数方程, . 其中叫椭园积分。 例4, 蜗线的弧长. = = = = 定积分在几何方面的应用---特殊图形的体积: 若体积的截面积函数己知, 则 . 例，两个半径为的园柱体，其轴垂直相交， 求相交部分之体积。 若两个园柱的半径不相同，则其相交部分体积为： . 令 . 平面曲线, 绕x轴旋转一周而成的体积。 切片: 卷筒: 7-1-5定积分在几何方面的应用--- 平面曲线, 绕x轴旋转一周而成的表面积。 , 例，关于球的体积。面积的计算 y R x2 + y2 =R2 -R 0 x x+△x R x -R 1, 体积: 切片: , = = y R x2 + y2 =R2 △( -R 0 ( R 卷筒 , = = 包锥 , y R p x2 + y2 =R2 q B -R 0 x x+△x R A = 2, 球面面积: , , . 第七章 定积