概率论与数理统计许承德习题五答案.docVIP

习 题 五 1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。 解 设为已取出的废品只数，则的分布为 即 所以 ， 2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求1周内期望利润是多少？ 解 设一周所获利润为（万元），则的可能值为. 又设为机器一周内发生故障的次数，则，于是， 类似地可求出的分布为 所以一周内的期望利润为 （万元） 3．假设自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润（元）与零件的内径有如下关系： 问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大. 解 即 两边取对数得 即 . 时，平均利润最大. 4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布律、分布函数和数学期望. 解 ，分布律为 即 的分布函数为 5．设随机变量服从几何分布，其分布列为 ， 求与 解1 其中 由函数的幂级数展开有 ， 所以 因为 ， 所以 解2 设 （1） 则 （2） （1）–（2）得 ， 所以 ， 从而，得 . ， ， ， 于是 ， 所以 ， 故得的方差为 6．设随机变量分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差. （1）； （2） （3） （4） 解 （1），（因为被积函数为奇函数） （2） . （3） , ， 所以 . （4）, , 所以 . 7．在习题三第4题中求 解 因的分布为 所以 . 8．设随机变量的概率密度为 已知，求 （1）的值 （2）随机变量的数学期望和方差. 解 （1） ， ， 解方程组 得 ， ， . （2）， . 9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第分钟到达底层候梯处，且在上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望. 解 设候梯时间为，则 . 10．设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间中的某一个整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量。 解 设商店获得的利润为，进货量为，则