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第8课 映射与函数 ●考试目标 主词填空 1.映射包括集合A、B以及从A到B的对应法则，三者缺一不可. 2.设f是从A到B的映射，则A的每一个元素必有惟一的象，而B中的每一个元素却不一定在A中都有原象. 3.函数的三要素是指定义域、值域、对应法则. 4.函数的表示法有解析法、列表法、图像法. 题型示例 点津归纳【例1】 试就下列两个集合建立一个从A到B的映射.(1)在梯形P1P2P3P4中，P1P2P3P4且|P1P2||P3P4|,线段P3P4上的点集为A,线段P1P2上的点集为B.(2)设圆的内部有一个“五角星”，五角星构成的点集为A，圆上点集构成B. 【解前点津】“寻找一个对应法则”，在“图形”背景下，往往就是要设计一种“作图方式”. 【规范解答】(1)由条件知:P1P4 P2P3故P1P4,P2P3的延长线必交于某点O,设P为P3P4上任一点，连OP并延长交P1P2于Q,,则P与Q对应.(2)设五角星中心为O，在五角星上任取一点P,连OP并延长交圆于Q,则P与Q对应. 【解后归纳】 深刻理解映射概念，是作图构思的关键.注意，有时这种作图方式不是惟一的. 【例2】某二次函数y=f(x)的图像如图所示，它交x轴于A、C两点，交y轴于B点,若A、B、C构成一个直角三角形，试确定对应法则f.【规范解答】 若AC⊥BC,则C与O重合，这是不可能的.同理，A也不可能是直角顶点.故只能是AB⊥BC. 设C(m,0),f(x)=ax2+bx+c则由条件得方程组:a=-,b=,c=2.故对应法则f：x→y=x2+x+2. 【解后归纳】 确定对应法则，往往是确定x与y所满足的某种运算关系，常通过列方程组来确定. 【例3】 设曲线x2+y2-2y+1=0(x0)被过原点的直线截得的弦长为l,若此直线的倾斜角为θ，当l∈(0,2)时,试确定弦长函数l=f(θ).【解前点津】 题设曲线是圆心在y轴上的右半圆，可利用：“半径的平方=弦心距的平方+半弦长的平方”来列方程.【规范解答】 圆心为(0，),半径为1,设直线方程为:y=x·tanθ弦心距d==|cosθ|，故由1=2cos2θ+()2得：l=2=2.∵l∈(0,2),故由022-1cos2θ0，而2θ∈［0,2π］，∴2θπθπ.∴弦长函数为l=2,(θπ).【解后归纳】 确定了目标函数之后，必须确定函数的定义域,此题从“几何”的角度列方程，也可从“代数”的角度列方程，但较繁.【例4】 判断下列命题的真假. (1)设A={x|x≥0},B=R，对应法则为：f :x→y，y2004=x，f为A到B的映射. (2)A={平面α内的正三角形},B={平面α内的圆},g：作正三角形的内切圆,此种对应是A到B的 映射. (3)f(x)=是一个复合函数. (4)函数g(x)=x2,(x∈Z)的图像是一条抛物线.【解前点津】 考察一个对应是否为映射，关键是考察A中的所有元素，是否都有惟一的象落在B中.【规范解答】 (1)令x=-1,则方程y2004= -1无实根,故B中无象，因而是一个假命题. (2)若正三角形确定，则其内切圆也相应确定，故命题为真. (3)因函数的定义域不能为空集，故命题为假.  (4)这是一个点函数，其图像不是“一条曲线”，故命题为假. 【解后归纳】 判断命题为假，举一个反例即可. ●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.下列四个命题①A={x|∈N*},B={y|y=,a∈N*},f：x→y=，,则f是A到B的映射. ②函数y=(x∈N*)的图像是一条线段.③y=2lgx与y=lgx4是相同函数.④设M={a,b,c},N={x,y},则可确定9个M到N的映射.其中真命题的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.42.设映射:f:Z→D,其中Z,D均为非空集，则叙述正确的是 ( )A.D中每一个元素必有原象B.D中每一个元素只能有一个原象C.Z中的不同元素在D中的象也不同D.D中至少有一个元素，它有原象3.设(x,y)在映射f作用下的象为(x+y,x-y),则(4,2)的原象是 ( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(3,1) D.(-3,-1) 4.下列映射中，是P到Q的一一映射的是 ( )A.P=R-,Q=R+,f:x→y=x2 B.P=Z,Q=Z,f:x→y=|x|+1