数值分析例题.docVIP

本节主要介绍牛顿――埃米尔特多项式的构造方法。 例1 已知函数表 x x0 x1 y y0 y1 y’ y’0 求一个插值多项式H (x)，使其满足如下条件： （6.22） 解：先由函数表 x x0 x1 y y0 y1 作线性插值，即为 （6.23） 再注意到H (x)与P1 (x)在节点x0, x1上函数值相同， 即： 于是，它们的差可以设为 其中K为待定常数，上式又可记为： （6.24） 为确定K，对上式求导： 令x = x0，代入上式，并且注意到插值条件得： 于是有 （6.25） 将上式代入（6.24）得 （6.26） 可以验证（6.26）所确定的H(x)确实满足插值条件（6.22）。同时也可以看到，构造牛顿――埃米尔特插值多项式，完全采用牛顿插值的构造思想。 最后，也可以把（6.26）式整理成拉格朗日形式： （6.27） 下面介绍一般的埃米尔特插值。 已知函数表 （6.28） 求一个插值多项式H (x)，使其满足如下条件： i = 0, 1, 2,…, n （6.29a） i = 0, 1, 2,…, m （6.29b） 为求此多项式，首先分析插值条件的个数，共为m+n+2个。那么，所构造的H (x)的次数，一般不超过m+n+1次。于是，按牛顿插值的构造思想，可设 （6.30） 其中Nn (x)是由（6.29）所作的牛顿基本插值多项式；Pm(x)为特定的m次多项式。 显然： i = 0, 1, 2,…, n 为确定Pm (x)，对（6.30）求导 （6.31） 令x = xi, i = 0, 1, 2,…, m，且利用条件（6.29b），代入（6.31）得 所以 i = 0, 1, 2,…, m （6.32） 于是，把求Pm (x)的问题，变成已知Pm (x)的函数表 x x0 x1 x2 … xm Pm(x) Pm(x0) Pm(x1) Pm(x2) Pm(xm) 确定一个次数不超过m的插值多项式Lm(x)，使其满足 i = 0, 1, 2,…, m 的插值问题。其中Pm(xi)是由（6.32）式计算得来的。 因为Pm(x)为小于等于m次多项式。所以，。即 （6.33） 其中令x – x-1 = 1，将上式代入（6.30），便得到满足插值条件 的埃米尔特插值多项式。 此时，（6.30）式是牛顿式的。 如果将（6.30）式中的Nn (x)，Pm(x)换成拉格朗日插值多项式Ln (x)，Lm(x)时，则（6.30）可改写成 （6.30a） 其中 i = 0, 1, 2,…, m 当然，我们也可以把它改写成完全拉格朗日形式 （6.34） 特别地当m = n = 1时，得到3次多项式。 余项 例：求满足条件 x 1 2 3 y 2 4 12 y’ 3 的插值多项式及余项。 解：设插值多项式H3(x)，满足所给的已知条件，按牛顿插值的构造思想： 其中 为确定k值，对前式求导，得： 令x = 2，代入上式，且注意插值条件，得 因为，所以k = 2，于是 可以验证 余项 例题：用线性插值求 （x* = 10.723805） 解：设，取x0 = 100，x1 = 121 则 y0 = 10 y1 = 11 从而 线性插值也可构造《数学用表》中正弦、余弦、对数等数表的修正项。 例：用抛物插值求，（x* = 10.7238） 解：设，函数表为 x 100 121 144 y 10 11 12 例：已知x = 0, 2, 3, 5，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5，作三次牛顿插值多项式 解：作差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 如已知x = 0, 2, 3, 5, 6时，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5, 6（即增加了一个点），作差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3