菱形知识点及同步练习.docVIP

学科：数学 教学内容：菱形 学习目标 1．掌握菱形的概念． 2．理解菱形的性质及识别方法． 3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题． 学法指导 把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点． 基础知识讲解 1．菱形的定义 四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形． 由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可． 2．菱形的性质 （1）它具有平行四边形的一切性质 （2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形． 3．菱形的识别方法 菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法． 其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形． 4．菱形的面积计算 由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×SRt△. 设对角线长分别为a，b．则菱形的面积=4××（）=ab，即菱形的面积等于对角线乘积的一半． 5．菱形的性质及识别方法的作用 利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算． 重点难点 重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用． 难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题． 易错误区分析 运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对 （1）邻边相等的四边形为菱形．（ ） （2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ） 错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×） 正解：（2）（×） （2）（×） 运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件． 由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误． 例2．如图在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点连结AE，AF.求证：AE＝AF 错误分析：本题证明错在BE＝DF，因为并未证明BC＝CD，推理不严格 错证：∵菱形ABCD， ∴AE＝AF 正证：∵菱形ABCD ∵AB＝AD，∠B＝∠D， ∴BC=CD 又∵EF分别为BC，CD的中点 ∴BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF ∴AE＝AF 典型例题 例l．已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF＝60°.∠BAE＝18°，求∠CEF的度数． 分析：要求∠CEF的度数，可先求∠AEB的度数，而要求∠AEB的度数则必须求∠B的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到. 另外，由∠D＝60°．如连结AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ACF，有AE＝AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF 解法一：因为菱形是特殊的平行四边形． 所∠B＝∠D＝60°.因为∠BAE＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE＝180° 所以∠AEB+60°+18°＝180°. 即∠AEB=180°-60°-18°＝102°． 又∠AEF＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF＝180° 所以∠CEF＝180°-60°-102°＝18° 解法二：连结AC ∴四边形ABCD为菱形， ∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD． ∴△ABC和△CDA为等边三角形 ∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60° ∵∠EAF＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE≌△ACF ∴AE＝AF 又∵∠EAF＝60° ∴△EAF为等边三角形 ∴∠AEF＝60° ∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF ∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF＝18° 解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法． 例2．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点M，AN平分∠DAC，交BC于点N. 求证：四边形AMNE是菱形． 分析：要证AMNE是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN是∠DAC的平分线，只要证AM＝AE