四、机率论与机率分布.pptVIP

四、機率論與機率分布 4. Probability Theory Probability Distribution 定義 樣本點 隨機實驗的每個可能的結果 樣本空間 隨機實驗中所有可能的的樣本點的集合 事件 Event 樣本空間的部份集合 可以是空集合，也可以等於樣本空間 定義 聯合事件Joint Event 交集Intersection 事件A與事件B的交集，指事件A與事件B同時發生的事件，以 A∩B表示 聯集Union 事件A與事件B的聯集，指事件A及事件B任一或二發生的事件，以 A∪B 表示 補集Complement 事件A的補集，指事件A沒有發生，以AC 或ā表示 Venn diagram 以陰影部份表示事件 ? A∩B ? A∪B ? AC 機率理論的種類 古典機率理論 頻率機率理論 主觀機率理論 機率的公理 古典機率理論 古典機率理論又稱為先驗機率理論 假定有N種互斥且出現機率相等的樣本點，若定義事件A包括了nA個樣本點，則事件A發生的機率為P(A) = nA / N 頻率機率理論 又稱為相對次數理論 指在長期重複的隨機實驗中，某事件出現的機率為該事件出現的次數除以實驗總次數 機率乃是長期實驗的結果，因此又稱為後天機率 主觀機率理論 事件發生的機率乃是反映人們對此事件的相信程度 針對一些尚未發生又無法以客觀機率表示的事件 機率的公理 機率附合以下三公理 任一事件A發生的機率為實數，且 0 ≦ P(A) ≦1 若S為樣本空間，則 P(S) = 1 設A1, A2, …, Ak為互斥事件，則P(A1∪A2∪…∪Ak)=P(A1)+P(A2)+…+P(Ak) Conditional Probability 條件機率 已知A事件發生的情形下，B事件發生的機率 P(B|A) 乘法原則Multiplicative rule of probability P(A∩B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) 若已知 P(A) ≠0，P(B|A) = P(A∩B) / P(A) 若已知 P(B) ≠0，P(A|B) = P(A∩B) / P(B) Independent 獨立 獨立事件是指一事件發生的機率不受其他事件發生與否的影響 若A與B兩事件符合下列任一條件，則A與B互為獨立 P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A∩B) = P(A) P(B) Bayes’ Theorem 貝氏定理 以新獲得的資訊修正事前機率，而得到事後機率的方法。 例：貝氏定理 掌上癌細胞檢測儀 20分鐘驗出是否罹癌 檢測五十八個用針孔穿刺取下的細胞樣本，病理診斷確認出十五例癌細胞，而掌上癌細胞檢測儀總共挑出包含確認病例在內的廿個「可疑」細胞 假設58個重覆實驗可稱為足夠大的數字 以滿足頻率機率理論的要求 問1: 已知一被檢者細胞被掌上癌細胞檢測儀列為「可疑」，請問該被檢者真患有癌症的機率為？ (predictive value) 假設病理診斷為真 P(檢測發現可疑 ∩ 有癌症) = 15/58 P(檢測發現可疑 ) = 20/58 P(有癌症 |檢測發現可疑 ) =P(檢測發現可疑∩有癌症) / P(檢測發現可疑) = 15/20 = 75% 問2: 已知一被檢者並無癌症，請問該被檢者細胞被掌上癌細胞檢測儀列為「可疑」的機率為？ P(test + | No cancer) = P(test+∩No cancer) / P(No cancer)= 5/43 = 0.1163 A: True Positive B: False Positive C: False Negative D: True Negative 例2: 子宮塗片檢測 vs. 子宮頸癌 Sensitivity 敏感性P(T+|D+) = 70/83=0.8434 Specificity 特異性P(T-|D-) = 813532/999917=0.8136 Positive Predictive value, PPVP(D+|T+) = 70/186455= 0.000375 Negative Predictive value, NPVP(D-|T-) = 813532/813545= 0.99998 事前機率Prior probability P(D+) 事後機率Posterior probability P(D+|T+) 隨機變數 其變數的發生是隨機的(服從某一機率) 也就是說，此變數值是無法事先確定的 但在大量的資料中，其發生的形態會呈現某一規則 間斷性機率分布 間斷隨機變數的各個變亮的發生機率的分布情形 美國兒童的出生排行 伯努利分布 Bernoulli distribution 伯努利分布 二分隨機