(王)高中数学中的对称性问题.docVIP

高中数学中的对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 函数有（若等式两端的两自变量相加为常数，如），则的图像关于轴对称；当时，若，则关于轴对称； 函数有（若等式两端的两自变量相减为常数，如），则是周期函数，其周期；当时，若，则是周期函数，其周期； 函数的图像关于点对称；函数的图像关于点对称； 奇函数的图像关于点对称是周期函数，且是函数的一个周期；偶函数的图像关于点对称是周期函数，且是函数的一个周期； 奇函数的图像关于直线对称是周期函数，且是函数的一个周期；偶函数的图像关于直线对称是周期函数，且是函数的一个周期； 函数的图像关于点和点对称函数是周期函数，且是函数的一个周期； 函数的图像关于直线和直线对称函数是周期函数，且是函数的一个周期。 关系 图像特征 关于轴对称 关于原点对称 关于轴对称 ，或 关于直线对称 关于直线轴对称 关于直线对称 周期函数，周期为 原点（0，0） 轴 轴 直线 直线 关于点对称 点关于点的对称点问题 若点A, B, 则线段AB中点M的坐标是()；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M关于点P的对称点的坐标，利用中点坐标公式可得，解算的的坐标为。 例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点的坐标是. ① 点M关于点P的对称点的坐标; ② 点M关于原点的对称点的坐标. 直线关于点对称 直线L：关于原点的对称直线 设所求直线上一点为，则它关于原点的对称点为，因为点在直线上，故有，即； 直线：关于某一点的对称直线 它的求法分两种情况： 1)、当在上时，它的对称直线为过点的任一条直线。 2)、当点不在上时，对称直线的求法为： 解法（一）：在直线上任取一点，则它关于的对称点为，因为点在上，把点坐标代入直线在中，便得到的方程即为，简化为：. 解法（二）：在上取一点，求出关于点的对称点的坐标。再由，可求出直线的方程。 解法（三）：由，可设关于点的对称直线为且求设从而可求的及对称直线方程。 曲线关于点对称 曲线关于的对称曲线的求法：设是所求曲线的任一点，则点关于的对称点为在曲线上。故对称曲线方程为。 关于直线的对称 点关于直线的对称 点关于轴的对称点为 点关于轴的对称点为 关于直线的对称点是 关于直线的对称点是 点关于直线的对称点为 点关于直线的对称点为 点关于某直线的对称点的坐标 解法（一）：由⊥知，直线的方程→，由可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点的坐标。 解法（二）：设对称点为，由中点坐标公式求得中点坐标为把中点坐标代入中得到①；再由得②，联立①、②可得到点坐标。 解法（三）：设对称点为，由点到直线的距离公式有①，再由得②，由①、②可得到点坐标。 直线关于直线的对称直线 设直线，则 关于轴对称的直线是 关于轴对称的直线是 关于对称的直线是 关于对称的直线是 当与不相交时，则∥∥ 在上取一点求出它关于的对称点的坐标。再利用可求出的方程。 当与相交时，、、三线交于一点。 解法（一）：先解与组成的方程组，求出交点的坐标。则交点必在对称直线上。再在上找一点，点的对称点也在上，由、两点可求出直线的方程。 解法（二）：在上任取一点，则点关于直线的对称点在直线上，再由⊥，。又的中点在上，由此解得，把点代入直线的方程中可求出的方程。 解法（三）：设关于的对称直线为，则必过与的交点，且到的角等于到的角，从而求出的斜率，进而求出的方程。 例：求直线关于直线对称的直线的方程 解：设为所求直线上任意一点，则其关于对称的点在直线上. 故所求直线方程为 曲线关于直线对称 曲线关于直线的对称曲线的方程，在上任取一点，可求出它关于的对称点坐标，再代入中，就可求得的方程。 例：求圆关于直线：的对称圆的方程 解法（一）：设为所求圆上任意一点，则其关于对称的点在上. --即为对称圆的方程 解法（二）：求圆心（0，0）关于对称点C（1，1） 例：求椭圆 关于直线：对称椭圆的方程 解：设为所求椭圆上任意一点，则其关于对称的点在上. 综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是：⑴ 求对称点一般采用，先设对称点，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵ 求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点，再利用求对称点的方程求出点的对称点点坐标，将点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于的关系式，就是所求对称曲线的方程。 通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下： 原点（0，0） 轴 轴 直线 直线 函数图像自身的对称 一般地，