烟台芝罘区数学椭圆的几何性质与标准方程及针对性练习2016高三专题复习-解析几何专题1.docVIP

烟台芝罘区数学椭圆的几何性质与标准方程及针对性练习 2016高三专题复习-解析几何专题（1） 第一部分：椭圆知识点 一、椭圆的定义： （1）第一定义:平面内与两定点距离和等于常数(大于）的点的轨迹叫做椭圆. （2）第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数，当时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离. 椭圆定义的表达式：; 二、椭圆方程 1. 椭圆的标准方程: 焦点在轴:； 焦点在轴:. 是长半轴长，是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满足 表示椭圆的条件为： ，. 所以只有同号，且时，方程表示椭圆； 当时，椭圆的焦点在轴上； 当时，椭圆的焦点在轴上. 椭圆的几何性质（以为例） 1. 有限性:说明椭圆位于直线和所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 对称性:关于原点、轴、轴对称。 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： 长轴、短轴、焦距： 叫椭圆的长轴，是长半轴长； 叫椭圆的短轴，是短半轴长. 叫椭圆的焦距；为. 离心率 椭圆焦距与长轴的比 ,，即.这是椭圆的特征三角形，并且的值是椭圆的离心率. 椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当接近于1时，越接近于，从而越小，椭圆越扁；当接近于0时，越接近于0，从而越大，椭圆越接近圆。 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），. 7.设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当三点不在同一直线上时，构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：. 第二部分：椭圆标准方程典例 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。 解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4， 得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3. 所以椭圆的标准方程是＋＝1. 练：已知椭圆两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆标准方程．答： ＋＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当为长轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； （2）当为短轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1. 由点(－3,2)在椭圆上知＋＝1， 所以a2＝15. 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为， 由，得， ∴，， ，∴， ∴为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解： ∴， ∴． 练：已知椭圆的离心率，求值． 答：或． 椭圆标准方程针对性练习 1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e等于（ ） A． B. C. D. 2、椭圆的两个焦点是和，一条准线方程是，则此椭圆方程是（ ） A． B. C. D. 3、由椭圆的四个顶点组成的菱形的高等于： 。 4、不论k为何实数值，直线y=kx+1和焦点在x 轴的椭圆总有公共点，则的取值范围是： 。 5、已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 6、已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程． 7、 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 8、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程． 分析：可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程． 椭圆标准方程针对性练习答案： 1、（ A ）2、（ D ） 3、 4、。 5、故．6、． 7、或． 8、． 【烟台芝罘区】 一中十中校区南山路9号（进德小区） 1