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高等代数论文 课题 ：矩阵及其应用 学生姓名：欧 习 昌 学 号： 110701010039 系 部：数学与计算机科学学院 专 业：数学与应用数学 年 级：2011数本1班 矩阵及其应用 [摘 要]矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数的主要研究对象；在自然科学、工程技术和经济领域都有广泛的应用．本文介绍了矩阵的概念、分类及性质；讨论了它的加法，减法，数乘、方阵的行列式及矩阵的求逆和矩阵的分块等运算方法和运算规律等问题;简单说明了它在有些领域的应用. [关键字] 矩阵 性质 运算规律 行列式 应用 [正文] 一、矩阵的概念 已知n元线性方程组 的系数及常数项可以排成m行，n+1列的有序矩阵数表： 这个有序矩阵数表完全确定了该线性方程组，对它的研究可以判断它的解的情况. 定义1 矩阵 设个数排成行列的数表 用括号将其括起来, 称为矩阵, 并用大写字母表示, 即 , 简记为. 下面给出一些特殊矩阵： 行矩阵 m=1 ； 列矩阵 n=1 ； 零矩阵 (不同型的零矩阵是不同的 )； ⒋ 方阵 ，，称为n阶方阵． ⒌ 单位矩阵 ；对角矩阵 . 二、矩阵的运算 （一）矩阵的加法 ⒈定义2 设有两个m(n矩阵，矩阵 , 称为矩阵A与B的和，记为A+B ． ⒉运算规律： ① 交换律——； ② 结合律——； ③ ； ④ A + O = A ． （二）数与矩阵相乘 ⒈定义3 矩阵 称为数(与矩阵A的乘积，记为，或． ⒉运算规律： ① 结合律——； ② 矩阵关于数加法的分配律——； ③ 数关于矩阵加法的分配律——． 注： 利用数乘也可以定义负阵和减法． （三）矩阵与矩阵相乘 ⒈定义4 设是A一个m(s矩阵，B是一个s(n矩阵，记矩阵A与B的乘积 ，其中C是一个m(n矩阵， ，左矩阵的列数 = 右矩阵的列数． 例1 求矩阵的乘积． 解： ⒉矩阵的幂： 定义4 设A是n阶方阵，定义 ，k 正整数． ⒊运算规律： ① 结合律 ——； ② 数乘结合律 ——； ③ 分配律 ——左分配律：；右分配律：； ④ 乘单位阵不变 ——； ⑤ 乘方的性质 ——；． （四）矩阵的转置 ⒈定义5 把矩阵A的行换成同序号的列得到的新矩阵叫做A的转置矩阵，记为AT． 例如，的转置矩阵为． ⒉矩阵的转置实际是关于矩阵的一种运算，它满足的运算规律： ① (转置再转置)——； ② (和的转置) ——； ③ (数乘的转置) ——； ④ (乘积的转置) ——． （五）方阵的行列式 ⒈定义6 方阵A的元素位置不变构成的行列式称为方阵A的行列式，记为或A． 设，则.实际上，方阵的行列式若按其值分为两类：0或非0,若=0，则称为非奇异方阵，否则也奇异方阵． ⒉运算规律 ① (转置阵的行列式)——； ② (数乘的行列式) ——； ③ (乘积的行列式) ——． ④ 乘方的行列式性质：． ⒊伴随矩阵 由行列式各元素的代数余子式构成的矩阵 称为A的伴随矩阵。可以得到：． 三、逆矩阵 ㈠、定义 ⒈定义7 对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得，则称矩阵A是可逆的，称矩阵B是A的逆矩阵，记A的逆阵为． ⒉定理 n 阶方阵A可逆的充要条件是，且可逆时 ． ⒊推论 若存在B，使得(或)，则A可逆，且B =． 4.逆矩阵的运算性质： ① 可逆阵A的逆矩阵仍可逆，且； ② ( ( 0时，可逆阵的数乘仍可逆，且； ③ 若A、B为同阶可逆矩阵，则仍可逆，且； ④ 可逆阵A的乘方仍可逆，且； ⑤ 可逆阵A的转置仍可逆，且； ⑥ 可逆阵A的逆阵的行列式 ． 5、逆阵的求法举例 例１ 设, 满足, 求． 　解： 并项： 例2 设满足, 求． 　　解： 四、分块矩阵 ㈠、分块矩阵的定义 ， ， 用若干条横线与纵线将矩阵划分为若干个小矩阵, 称这些小矩阵为的子矩阵, 以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵． 特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；　同列上的子矩阵有相同的“列数”． ㈡、运算性质 1. 加法：, ； 要求：与同阶, 且分块方式相同； 2. 数乘：； 3. 乘法：, ， ， ． 五、矩阵的应用 矩阵在各个领域都有广泛的应用, 用矩阵的初等行变换来求