概率论第四章4.pptVIP

朱连华 Tel南京信息工程大学数理学院统计系 E-mail:ahualian@126.com 第一节 数学期望 二、数学期望的性质 第二节　方　差 一、随机变量方差的概念及性质 契比雪夫资料 第三节 协方差及相关系数 第四节　矩、协方差矩阵 一、基本概念 二、n 维正态变量的性质 分　　布 参数 数学期望 方差 两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 例如, 例 解 由于 故有 Pafnuty Chebyshev Born: 16 May. 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec. 1894, in St. Petersburg, Russia 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 当X～N(0,1)时， P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974 回顾：3 准则 将上述结论推广到一般的正态分布, 可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 区间内. 这在统计学上称作“3 准则” . ~N(0,1) 时， 契比雪夫不等式 证明 取连续型随机变量的情况来证明. 切比雪夫不等式 契比雪夫 得 例 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P{ |X-E(X)| 2100} 由切比雪夫不等式 P{ |X-E(X)| 2100} 即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9 . 一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的 协方差和相关系数 回顾：设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 证明 1 协方差定义 2 协方差的计算:归结为计算E[g(X,Y)] Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 特别地 4 协方差的性质: 10 Cov(X, Y)=Cov(Y, X); 30 Cov(a1X+b1, a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y), 其中 a1, a2, b1,b2是常数; 40 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y); 50 |Cov(X, Y)|2≤D(X)·D(Y); 60 若X, Y相互独立, 则Cov(X, Y)=0. 20 Cov(X, C)=Cov(C, X)=0 5 相关系数 从定义看, 相关系数?XY与协方差Cov(X,Y) 只差一个常数倍, ?XY是标准化了的协方差, 关于 相关系数有下面定理. 定理说明了相关系数 ?XY 刻划了 X, Y之间的线性相关关系, 当?XY=0时, 我们称X,Y不相关. (这里是指它们之 间没有线性相关关系.) 例2.设(X, Y)服从二维正态分布,求X和Y的相关系数. 由第三章我们曾证明过的一个命题, 设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y 相互独立的充要条件是?=0. 知X与 Y不相关与X和Y相互独立是等价的. 例3 一、基本概念 二、n 维正态变量的性质 1.定义 2. 说明 3. 协方差矩阵 协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究 * * 概率论与数理统计 一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随