高中不等式知识点.docVIP

不等式 ①（对称性）②（传递性） ③（可加性） （同向可加性） （异向可减性） ④（可积性） ⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性） ⑥（平方法则）⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 2、几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）. ④（当且仅当时取到等号）. ⑤（当且仅当时取到等号）. ⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号） ⑦，（其中 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧ ⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 ①平均不等式：，，当且仅当时取号）. （即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： ②幂平均不等式： ③二维形式的三角不等式： ⑧排序不等式（排序原理）： 设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有 则称f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如 ②将分子或分母放大（缩小）， 如 等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴ ⑵ ⑶⑷ ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当时, ⑵当时, 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当时, ⑵当时, 规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法： ⑵平方法： ⑶同解变形法，其同解定理有： ①② ③ ④ 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当时 ②当时 ⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当时②当时 ⑶恒成立恒成立 ⑷恒成立恒成立 15、线性规划问题 常见的目标函数的类型： ①“截距”型：②“斜率”型：或 ③“距离”型：或 或 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.