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von Neumann熵基本性质简述 　　 摘要：熵是信息论中一个十分重要的概念，能够用于刻画信源的平均信息量。但和经典信息论中的香农熵不一样，量子信息中信源的不确定性需要使用von Neumann熵来进行刻画。同时，von Neumann熵在纠缠判别、纠缠度刻画等方面也具有十分重要的地位。因此，我们希望通过本文对von Neumann熵的性质进行介绍，能够帮助研究生更好地掌握该概念。 　　 关键词：量子信息;von Neumann熵;信息论 　　 中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）43-0279-02 　　 一、定义 　　 设一个量子系统的状态由密度算子 　　 =pi|ψ〉〈ψ|（1） 　　 其中，pi≥0，pi=1，|ψ〉是系统空间内的纯态。但此处需要注意的是不同的|ψ〉不一定相互正交。因此，可以定义这个系统的von Neumann熵为 　　 S（ρ）=-trρlogρ（2） 　　如果不同的|ψ〉互相正交（不失一般性可以假设其已经归一化），那么von Neumann熵可以写为 　　 S（ρ）=-〈ψm|ρlogρ|ψm〉（3） 　　对方程（3）进一步的推导后可以得到如下的表达式 　　 S（ρ）=-〈ψm|pi|ψiδin〈ψn|logpj|ψj〉δjm 　　=-〈ψm|pn|ψn〉〈ψn|logpm|ψm〉 　　=-pmlogpm（4） 　　其中pm为密度算子的本征值。 　　 从von Neumann熵的定义可以看出，其和经典信息论中的香农熵具有相类似的含义，能够用于定量分析信源的平均信息量，是忠实传送信源编码态所需要的最小信道量子位数目。同时，从公式（4）可以看出，当量子态处于完全混合态时（此时|ψi〉互相正交），von Neumann熵退化为香农熵。 　　 二、基本性质 　　 1.非负性。 　　 S（ρ）=-trρlogρ≥0（5） 　　其中，当且仅当量子系统处于纯态时等号成立。该性质十分明显，而且证明过程十分简单，在此就不进行证明。讲解时可以作为练习让学生自己推导。 　　 2.von Neumann熵在幺正变换下不变，即 　　 S（UPU-1）=S（ρ）（6） 　　 3.如果量子系统ρ存在M个非零的本征值，那么 　　有S（ρ）≤logM（7） 　　当且仅当所有非零本征值都相等时等号成立。 　　 4.对于复合系统AB而言，如何系统处于纯态，那么必然有S（A）=S（B）（8） 　　该性质是von Neumann熵一个比较重要的性质，下面我们对其进行简单的证明。对于复合纯态系统AB而言，其状态波函数可以进行Schmitt分解，即其波函数可以写为|ψAB〉=|φ〉|φ〉，那么可以有 　　 S（ρA）=S[TrB（|ψAB〉〈ψAB|）]=-PilogPi 　　 S（ρB）=S[TrA（|ψAB〉〈ψAB|）]=-PilogPi（9） 　　因此可以得证。 　　 5.假设量子体系的密度矩阵可以写为 　　ρ=i pi ρi，并且pi处于相互正交子空间，那么有 　　 S（pi ρi）=H（pi）+piS（ρi）（10） 　　证明：假设λ和|e〉是密度算子ρi的本征值和相应的本征矢量。注意到piλ和|e〉是pi ρi的本征值和本征矢，因此 　　 S（pi ρi）=-piλlog（piλ） 　　 =-pilogpi-piλlogλ 　　 =H（pi）+piS（ρi） 　　得证。 　　 上面的性质（5）是von Neumann熵一个十分重要的性质，需要帮助学生理解清楚，并要求学生能够进行证明。同时，由该性质，我们可以推导出下面的结论，即假设ρi是系统A的密度算子集合，|i〉是系统B的正交态，那么有S（pi ρi？茚|i〉〈i|）=H（pi）+piS（ρi）。这个推理可以用于正交复合系统熵的计算。 　　 6.三角不等式。设ρAB是不同的量子系统A和B中的一个状态，那么两个系统中的联合熵满足不等式 　　 S（A，B）≤S（A）+S（B）S（A，B）≥|S（A）-S（B）|（12） 　　第一个方程当A和B系统不存在关联时等号成立，第二个方程的等号成立没有简单的关系式。三角不等式是von Neumann熵中另一个重要的性质，在判断不同系统熵大小时具有广泛的应用。 　　 三、小结 　　 上面我们从定义和基本性质两个方面对von Neumann熵进行了介绍，这些概念和性质是学习von Neumann熵时必须掌握的基本性质，对于后面量子信息基本理论的学习具有十分重要的基础作用。因此在授课时对于比较复杂的证明过程一定要让学生自己动手推导，这样才能够更好地掌握这些基本性质，这对于后面的学习十分重要。 　　Ba