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习题二答案 1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？ 答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率（x取任意的值）求得X的分布函数;仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数,可通过积分 ,求得分布函数, 可通过对求导，即（对一切求得密度函数 2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X13}. 解：由题意X的正概率点为2，3，…12 , k=2,3,…12 3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X2} 解： , 4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 (i=1,2,3)表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”； 相互独立，且= ，i=1,2,3 对于m =0,1,2,3 ，有 5．设随机变量X的概率密度为： 若k使得, 求k的取值范围。 解： 当 时， 当 时， 当 时， 故要使得 ，k的取值范围是 6．设某射手每次射击命中目标的概率为0.5， 现连续射击10次，求命中目标的次数X的概率分布，又设至少命中3次才可以参加下一步的考核，求次射手不能参加考核的概率。 解： , k=0,1,2…,10 设，有 7．设X服从泊松分布，且已知, 求 解：由 得到=2 8．某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布,概率密度为 求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率α。 解： k=1,2,3 9. 令X 表示向直角等腰三角形内投点时落点的第一坐标,求F(x). 解： 当时，=0 当时，=1 当时， 10．从1个白球n-1个黑球中任取k 个,令X 表示取出的白球个数.(1)求X 的分布律;(2)证 解：(1)X的可能取值为0,1，且 故分布律： (2)由分布律性质， 即 11．已知X 的概率密度为, 计算P 解： 12．已知X 的概率密度为f(x)=C ,确定常数C. 故，C= 13. 设X~N(108,9),(1)求P{101.1x117.6};(2)求常数a,使P{Xa}=0.90. 解：(1) (2) 故， 即，a=111.84 14．设X 为一离散型随机变量,其分布律如下表,求:(1)q 的值;(2)X 的分布函数. X -1 0 1 P 1-2q 解：(1) 解得： 分布律： X -1 0 1 P (2)由知， 15. 设随机值变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现对X 进行3次独立观测,试求至少有2次观测值大于3的概率. 解：因 且 故， 以Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数（即在3次独立实验中事件A出现的次数）显然，Y服从参数为n=3，p= 的二次分布 16. 设一大型设备在任何长为t的时间间隔内发生故障的次数N(t)服从参数的泊松分布，求: （1）相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； （2）在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率Q. X 1 2 3 4 5 6 P 求Y=COS的分布律。 解：X与Y的对应关系如下表: X 1 2 3 4 5 6 Y 0 -1 0 1 0 -1 P 可见Y的取值只有-1,0,1三种可能。 Y -1 0 1 P 18.设X～N（0,1），求Y=的密度函数。 设连续型随机变量x的概率分布为： (B) 随机变量X与Y均服从正态分布。X～N(μ,),Y～N(μ,),证=P,=P,则() 对任何实数μ，都有 (B)对任何实数μ，都有 (C)只对μ的个别值，才有= (D)对任何实数μ，都有 设随机变量X～N(μ,)，则随着