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积分的计算与运用换元积分法换元积分法是求积分的一种方法。主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分。换元积分法换元积分法是求积分的一种方法。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。在计算函数导数时.复合函数是最常用的法则,把它反过来求不定积分，就是引进中间变量作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式。从而把原来的被积表达式变成较简易的不定积分这就是换元积分法。换元积分法有两种，第一类换元积分法和第二类换元积分法。换元积分的两种方法第一类换元积分法第一类换元法,也称为凑微分法，推导过程如下：设??在??上有定义，??在??上可导，且??，??，并记??，??。若??在??上存在原函数??，则??在??上也存在原函数??，??，即在使用时，也可把它写成如下简便形式：第二类换元积分法设??在??上有定义，??在??上可导，且??，??，并记??，??。若??，??，则当??在??上存在原函数??时，??在??上也存在原函数??，且??，即(其中 是??的反函数)此时观察这两类换元法的定理公式,发现它们是互相可逆的。分部积分法微积分学中的一类重要的、基本的计算/subview/61339/5928878.htm积分的方法。它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、/view/331649.htm对数函数、/view/331644.htm幂函数、/view/91555.htm三角函数、/view/331648.htm指数函数的积分。公式推导设??及??是两个关于??的函数，各自具有连续导数??及??，则按照乘积函数求微分法则，则有或者对其两边进行积分，且因??的原函数是??，得如果将??和??用微分形式写出，则亦可得出上两式就表示出了分部积分法则。它把??的积分化为??的积分，也即分部积分的好处是，可将复杂的被积函数简化为另一较易求得的函数积分。例如，要求??，则依分部积分法则，令如此则按上述公式有四种典型模式一般地，从要求的积分式中将??凑成??是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取??，因为一旦??确定，则公式中右边第二项??中的??也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取??则要依??的复杂程度决定，也就是说，选取的??一定要使??比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）三（角函数）指（数函数）模式一通过对??求微分后，??中的??比??更加简洁，而??与??的类型相似或复杂程度相当。例如，对于形如??的不定积分（其中??为??次多项式），由于对多项式求微分可以降次，且三角函数或指函数的积分则较容易求得，所以可以令??，而将另一个函数看成??通过分部求得积分。例如 求?首先，?对该式第二项再按此模式进行分部积分，得故原式?模式二通过对??求微分使得它的类型与??的类型相同或相近，然后将它们作为一个统一的函数来处理。例如对形如?等的积分，总是令??，则??则为一个??次的多项式，另一个函数（??等）看成??。通过分部积分，很容易求出不定积分。例如，求?而该式第二项为故原积分式?模式三利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质，通过一次或二次分部积分后，使等式右端再次产生??，只要它的系数不为1，就可以利用解方程的方法求出原积分??。例如，对于积分??和?按法则对他们进行分部积分得这样，所求积分均由另一个积分所表示出来，将这两式相加和相减（即解方程）得到所求积分表达式以及这两个通用表达式就可以求出该类型的所有积分式，比如模式四对某些形如??的不定积分，利用分部积分可降低??的次数，求得递推公式，然后再次利用递推公式，求出?例如，对于积分?当??时，?当??时，?而该式的第二项又可变换为?将其带入上式，则得到故最后，得到统一的递推关系式定积分与/view/335446.htm不定积分的分部积分法一样，可得简写为?例如广义积分定积分概念的推广至积分/view/70334.htm区间无穷和被积函数在有限区间上为无界的情形成为广义积分，又名/view/2471192.htm反常积分。其中前者称为无穷限广义积分，或称无穷积分；后者称为/view/1913953.htm无界函数的广义积分，或称/view/3213306.htm瑕积分。无穷积分设函数f(x)定义在[a,+∞)上。设f(x)在任意区间[a,A](Aa)上可积，我们称极限??为f(x)在[a,+∞)上的无穷积分。记作?类似可