微分方程1.docVIP

第七章 微分方程 新大纲透析 考生应按大纲的要求，熟练掌握各类方程的典型解法。如：对可分离变量的方程用分离变量法求解；对齐次微分方程首先用标准的变量代换把它转换为可分离变量的方程，然后再用分离变量法求解；学会运用公式法或常数变易法、积分因子求解一阶线性微分方程；要学会在搞清通解结构得基础上熟练掌握求对应齐次方程通解的特征方程和设定非齐次方程特解的系数。 考点详解 本考点要求熟练掌握微分方程的概念，结构以及求解解法.其中： 1、掌握微分方程的概念（微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解） 2、掌握可分离变量方程的解法。 3、掌握一阶线性方程的解法。 4、会用降阶法求解型方程（数二不做要求）。 5、了解二阶线性微分方程解的结构。 6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 7、掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为?（x）=Pn（x）eax，其中Pn（x）为x的n次多项式。α为实常数；?（x）=eax（Acosβx + Bsinβx），其中α、β、A、B为实常数）。 历年考题这部分有如下形式：计算题、证明题 计算题：求可分离变量方程、一阶线性方程、求解型方程和二阶线性微分方程；证明题：线性方程的通解。 内容详析 一、微分方程的基本概念 微积分研究的主要对象是函数. 因此, 如何寻找函数关系, 这在实践中具有十分重要的意义. 什么是微分方程呢? 下面通过具体的实例来引入微分方程的概念. 求过点 (1, 3 ) 且斜率为2 x的曲线方程. 解 设.所求曲线的方程为 y = y (x) 则 （1） 此外未知函数还应满足下列条件： （2） 把1式两端积分，得 （3） 其中C是任意常数 把条件“”代入（3）式，得 由此定出C=1，把C=1代入（3）式，即得所求曲线方程 （4） 列车在平直线路上以的速度行驶；当制动时列车获得加速度问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车在开始制动后t s时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式 （5） 此外，未知函数s=s（t）还应满足下列条件： =20 （6） 把（5）式两端积分一次，得 (7) 再积分一次，得 (8) 这里 ,都是任意常数 把条件“”代入（7）式，得 20=； 把条件“”代入（8）式，得 0= 把，的值代入（7）及（8）式，得 V=-0.4 t +20， （9） （10） 在（9）式中令v=0，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 T=50（s） 再把t=50代入（10）式中，得到列车在制动阶段行驶的路程 S= 1.上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的倒数，它们都是微分方程，一般的，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时简称方程. 所谓微分方程，指的是表示未知函数、未知函数的导数或微分与自变量之间关系的方程，至于方程中是否出现自变量、是否出现未知函数，都是无关紧要的，关键是要含有未知函数的导数或微分，否则，如果一个方程不含有未知函数的导数，也不含有未知函数的微分，那么多个方程就不是微分方程，而是一个代数方程． 2.微分方程中所出现的未知函数的最高阶倒数的阶数，叫做微分方程的阶。 3．微分方程的解 代人微分方程能使其两端成为恒等式的函数，称为微分方程的解。 4．微分方程的通解 如果微分方程的解中