基础实验二定积分数值计算.docVIP

基础实验二 定积分数值计算 一、实验目的 学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。 二、实验材料 2.1定积分的数值计算 计算定积分的近似值，可将积分区间等分而得矩形公式 或 也可用梯形公式近似计算 如果要准确些，可用辛普森公式 对于，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为 a=0;b=1;k=10; f[x_]:=Sin[x]; d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值） s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式） s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （取小区间中点的矩形公式） s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式） s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式） s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}] +4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];（辛普森公式） r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=d-s4[m];r5[m_]:=d-s5[m];（误差） t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5[m]}, {m,100,1000,100}] 利用以上程序计算、、，并对几个公式比较。 2.2可积条件 如果函数在区间上连续，则在区间上可积。反之不然。 2.3牛顿-莱布尼兹公式 设函数在上连续，而且是的一个原函数，则有牛顿-莱布尼兹公式。 函数在不连续、不存在原函数，但在上可积；函数在不连续，但在上可积、存在原函数。 此外函数处处不连续、不存在原函数，在任意区间(长度大于0)上不可积。 求原函数并验证牛顿-莱布尼兹公式的Mathematica程序 f[x_]:=Sin[x]; Integrate[f(x),x]（求不定积分） F[x_]:=%（定义原函数） d=NIntegrate[f(x),{x,a,b}]（求定积分） df=F[b]-F[a] （计算原函数的增量） r=d-df 三、实验准备 认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。 四、实验思路提示 3.1定积分的定义 先对一个函数，例如在区间[0,1]，在程序中改变（例如、、）并适当扩展有效数字（例如、、），运行程序计算定积分的近似值，分析误差。再考虑其它函数。最后对几个公式比较。 3.2牛顿-莱布尼兹公式 先对一个函数，例如在区间[0,1], 运行程序计算。再考虑其它函数，例如指数函数、分段连续函数、。分析可积条件及牛顿-莱布尼兹公式成立的条件。