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专题四 立体几何 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系 【必威体育精装版考纲透析】 1．理解空间直线\平面位置关系的定义。 2．了解可以作为推理依据的公理和定理。 3．认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。 4．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【主干知识回顾】 点、线、面的位置关系 公理1 ∵A,B，∴AB。 公理2 ∵A，B，C三点不共线，∴ A，B，C确定一个平面。 三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面。 ②过两条平行直线有且只有一个平面。 ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。 公理3 ∵ P，且P，∴，且P。 公理4 ∵ ∥，∥，∴∥ 等角定理 ∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴ ∠AOB=∠A1O1B1或∠AOB +∠A1O1B1=1800。 直线、平面平行的判定及性质 线面平行的判定定理 ∵，，∥，∴∥。 线面平行的性质定理 ∵∥，，，∴∥。 面面平行的判定定理 ∵，，P，∥，∥，∴∥。 面面平行的性质定理 ∵∥，，，∴∥。 直线、平面垂直的判定及性质 线面垂直的判定定理 ∵，，P，⊥，⊥，∴⊥。 线面垂直的性质定理 ∵⊥，⊥，∴∥。 面面垂直的判定定理 ∵，⊥，∴⊥。 面面垂直的性质定理 ∵⊥，，，⊥，∴⊥。 【核心要点突破】 要点考向1：线线、线面的位置关系 考情聚焦：1．空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系是最基本的关系，是高考中重点考查的内容，几乎年年都考。 2．题目基本上以柱体、锥体为背景，重点考查异面直线及线面关系。 3．三种题型均可出现，属较容易或中档题。 考向链接：1．解决此类问题时要特别注意线线平行与垂直、线在平行与垂直、面面平行与垂直间的相互转化。 2．证明线线平行的常用方法：（1）利用定义，证两线共面且无公共点；（2）利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行。 3．证明线面平行常用方法：（1）利用线面平行的判定定理把证线面平行转化为证线线平行；（2）利用性质 ∥，∥ 4．证明线面垂直的方法有： （1）定义； （2）判定定理； （3）∥，⊥，则⊥ （4）∥，⊥，则⊥ （5）⊥，，，⊥，则⊥ 例1：如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。 求证：AF∥平面BCE； 求证：平面BCE⊥平面CDE。 解答：取CE中点P，连接FP、BP. ∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=DE.又AB∥DE，且AB=DE。 ∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP. 又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF∥平面BCE. （2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD. ∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD， ∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CDDE=D，∴AF⊥平面CDE， 又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE，又BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE 【注意】本小题考察线面平行，面面垂直等知识，其中证明线面垂直是证明面面垂直的关键。对不规则图形的认识关键还是寻找其中的主体条件，来强化对图形的领，当然也可以重新变化角度画出图形，但要注意顶点的对应。 【变式训练】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点 (1)求证 CD⊥PD; (2)求证 EF∥平面PAD; (3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？ 证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影， ∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD (2)取CD中点G，连EG、FG， ∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD (3）解 当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD 证明 G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP 由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE 又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD 要点考向2：面面位置关系 考情聚焦：1．在高考中，本部分内容几乎年年考查，主要考查学生分析问题、解决问题的能力。 2．题目基本上以棱柱、棱锥为背景，考查面面平行或垂直。 3．选择题、填空题、解答题均可出现，题目难度为低档或中档。 考向链接：1．证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线