051东北师大附属中学高三第一轮复习导学案抛物线A.docxVIP

抛物线(教案)A知识梳理：抛物线的定义定义的理解:定点在直线上,轨迹是: .抛物线的标准方程及性质(见下表)标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式x轴x轴y轴y轴3、焦半径公式=2px (p0) ， M(,)为抛物线上任意一点。F为抛物线的焦点， |MF|=+（2）、n= ,m=+=4、若抛物线过焦点的弦AB，设A（）B（），则有下列结论：（1）、|AB|=p++（2）、|AB|=( =2px (p0), |AB|=( =2py (p0))（3）、|AB|=( =2py (p0))(通径是最短的焦点弦)（4）、= ,=-（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p（6）、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：=|AB||ON|=|OF|||=|OF|||（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切（8）、过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？以为例说明特例：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上．证明:当弦AB过焦点F，设、则过A点的切线方程是：①过B点的切线方程是：②由①－②可得：即：∴代入①式可得：∵弦AB过焦点弦，由焦点弦性质可知，∴x=，即交点P坐标为．结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论发散：当弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．（9）、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点。以（p＞0）为例说明特例：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．证明:，设、，则切线PA的方程为，切线PB的方程为．均过点P，则，，，故弦AB过焦点．证明：设准线上任一点，切点分别为、，则切线方程分别为：，两切线均过点P，则满足，．故过两切点的弦AB方程为：，则弦AB过焦点．结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．（10）、如图，AB是过抛物线（p＞0）焦点F的弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过点A，B的切线相交于P点，PQ与抛物线交于点M．（1）与是否有特殊的位置关系？结论：PA⊥PB．证明：，，∴∴PA⊥PB．（2）与是否有特殊的位置关系？结论：PF⊥AB．证明：，，∴PF⊥AB．（3）点M与点P、Q的关系结论：M平分PQ．证明：，∴∴∴M平分PQ．（4）直线PA与∠A1AB，直线PB与∠B1BA的关系结论：PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．证明：，，∴，∵∴即PA平分∠A1AB，同理PB平分B1BA．（5）与的大小比较结论：证明：，，∴（6）的最值问题结论：证明：∵≥∴（两等号可同时取得）课下思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有无与上述结论类似结果．则①，②PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．③④点M平分PQ⑤【练习】（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点，（1）试证：（n≥1）（2）取，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：（n≥1）（1）证明：焦点（0，1）设直线An Bn方程为：消去y得∴（2）由则故在An处切线方程为，即类似的，在Bn处切线方程为，即两式相减得代入可得则点∴从而∴【作业】1、证明上述问题中的结论发散2、已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且（＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，（1）证明：的值；（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．3、已知抛物线C的方程为，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：；（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上．5、直线与抛物线的关系（1）、=p（2）、直线与抛物线的公共点的情况6、二次函数y=a按向量=() 平移得到y=a，其中平移后坐标系下的焦点坐标为（0，），平移前的焦点坐标为（(）7、抛物线的焦点的位置的判断：看方程中的一次项，一次项是哪个变量，焦点就在哪个变量对应的坐标轴上，而且正系数在正半轴，负系数在负半轴；8、A、B两点都在抛物线上，且OA⊥OB，则=4p ,=-二、题型探究探究一：抛物线的标准方程例1：根据下列条件求出抛物线的标准方程（1）、焦点到准线的距离是2；（2）、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是X轴，抛物线上的点A（-3，y）到焦点的距离是5，解：（1）：； （2）：P=4，探究二：抛物线的几何性质例2：过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线（B）有且只有一条（B）有且仅有两条（C）有无数条 （D）不存在例3：已知点P是抛物线上任意一点，F为抛