高考平面向量专题突破学生版.docVIP

平面向量 【考情上线】 平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。 平面向量的基本概念及线性运算 【知识回顾】 一、向量的有关概念及表示方法 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法。 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如的模分别记作||和。注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大，其方向是任意的，与任意向量平行，零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件为单位向量。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如的单位向量为： 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。记作∥。 规定：与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义，要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②=； ③； ④若、=,=,+=。 （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为。相等向量经过平移后总可以重合。 二、向量的线性运算 1.向量加法 （1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法 设，则+==。 规定：； （2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须首尾相连 ②结合律： 2.法向量的减 定义：若则向量叫做与的差，记为。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” 三角形法则：当有共同起点时，表示为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所示的对角线。设则-=. 3.实数与向量的积 定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： ； 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。 数乘向量的运算律 ①；②；③。 三、向量共线定理 定理：若与是两个非零向量，则共线有且只有一个实数，使得，即 推论：若与是两个非零向量，则共线存在两个均不为零的实数，使得， 应用：可以证明三点共线：三点共线。 四、平面向量的基本定理 定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：。我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 注意：①要平面内的两个向量不共线，都可以作为一组基底，②当用基底写成时，称之为向量的分解， ③当若与是两个非零向量，则共线有且只有一个实数，使得时，称为向量的正交分解。 应用： ①证明向量共面：若不共线，则与共面的充要条件是存在有序实数对，使 ②证明四点共面：若不共线，存在实数对使四点共面， ③证明三点共线：若不共线，存在实数对使 三点共线。 五、平面向量的坐标表示与运算 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作的横坐标，y叫做作纵坐标。规定：① ，② 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量； ③ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关 平面向量的坐标运算： ①若，则；②若，则；③若=(x,y)，则=(x, y)；④若，则；⑤若， 则 六、线段的定比分点从标公式 设直线上有一条有向线段和一个不同于的动点P，若,即,则称点P为有向线段的定比分点，且称P分有向线段成定比。