版《高考模拟》：第八章立体几何第三节空间向量在立体几何中的应用.docVIP

【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》 第三节 空间向量在立体几何中的应用 第一部分 六年高考荟萃 2012年高考题 1.[2012·广东卷] 如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． 图1－5 证明：(1)PC⊥BD.?PA⊥BD. ∵PA∩PC＝P，PA平面PAC，PC平面PAC，BD⊥平面PAC. (2)法一：如图所示，记BD与AC的交点为F，连接EF. 由PC平面BDE，BE平面BDE，EF平面BDE，PC⊥BE，PCEF. 即BEF为二面角B－PC－A的平面角．由(1)可得BDAC，所以矩形ABCD为正方形，AB＝AD＝2，AC＝BD＝2，FC＝BF＝.在RtPAC中，PA＝1，PC＝＝3， 即二面角B－PC－A的正切值为3. 法二：以A为原点，、、的方向分别作为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 设AB＝b，则：A(0,0,0)，B(b,0,0)，C(b,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． 于是＝(b,2，－1)，＝(b，－2,0)．因为PCDB，所以·＝b2－4＝0， 从而b＝2.结合(1)可得＝(2，－2,0)是平面APC的法向量． 现设n＝(x，y，z)是平面BPC的法向量，则n，n，即n·＝0，n·＝0. 因为＝(0,2,0)，＝(2,2，－1)，所以2y＝0,2x－z＝0. 取x＝1，则z＝2，n＝(1,0,2)．令θ＝〈n，〉，则 cosθ＝＝＝，sinθ＝，tanθ＝3. 由图可得二面角B－PC－A的正切值为3. [2012·北京卷] 如图1－9(1)，在RtABC中，C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE＝2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图1－8(2)．(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 图1－9 解：(1)证明：因为ACBC，DEBC，所以DEAC，所以DEA1D，DECD， 所以DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为A1CCD， 所以A1C平面BCDE. (2)如右图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz， 则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)． 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.又＝(3,0，－2)，＝(－1,2,0)，所以令y＝1，则x＝2，z＝，所以n＝(2,1，)． 设CM与平面A1BE所成的角为θ，因为＝(0,1，)， 所以sinθ＝|cos(n，)|＝＝＝.所以CM与平面A1BE所成角的大小为. (3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下： 假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p[0,3]． 设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0. 又＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，所以令x＝2，则y＝p，z＝. 所以m＝.平面A1DP平面A1BE，当且仅当m·n＝0，即4＋p＋p＝0. 解得p＝－2，与p[0,3]矛盾．所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直． [2012·安徽卷] 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且bm，则“αβ”是“ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[解析] 本题考查线面关系的判断，证明，充要条件的判断． 由题知命题是条件命题为“αβ”，命题“ab”为结论命题，当αβ时，由线面垂直的性质定理可得ab，所以条件具有充分性；但当ab时，如果am，就得不出αβ，所以条件不具有必要性，故条件是结论的充分不必要条件． [2012·福建卷] 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点． (1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长． 图1－3 解：(1)以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故AD1＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝. ·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，B1E