{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：1.1.2数列的函数特性Word版含解析(经典).docxVIP

1．2　数列的函数特性 明目标、知重点　1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.掌握数列的函数特性，会判断一个数列是递增数列还是递减数列．1．数列与函数的关系我们知道数列可以看作是一个定义域为N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图像是横坐标为正整数的一系列离散的点．2．数列的单调性名称定义判断方法递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项an＋1an递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项an＋1an常数列各项都相等an＋1＝an3.数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图像法、列表法．[情境导学]数列作为一种特殊的函数，具有函数的本质属性，我们称之为数列的函数特性．事实上，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征，因此我们在研究数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地学好数列问题．探究点一　数列与函数的关系思考1　数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？答　数列也可以用图像、列表等方法来表示．思考2　以数列：1,3,5,7,9，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答　(1)通项公式法：an＝2n－1.(2)列表法：n12345…an13579…(3)图像法：思考3　与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识．答　数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在以下三个方面：①数列的定义域是正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}；②数列中的项是对应序号1,2,3，…的一列函数值；③数列的图像是一些孤立的点，这些点的横坐标从小到大依次是1,2,3，….探究点二　数列的单调性思考1　数列既然是特殊的函数，类比函数的单调性，如何定义数列的单调性呢？答　(1)一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an＋1an，那么这个数列叫作递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an＋1an，那么这个数列叫作递减数列．(2)如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．思考2　类比函数单调性的证明方法，如何判定数列的单调性？答　判断一个数列的增减性，常常用作差的方法，通过判断差的符号来确定．对n∈N＋，当an＋1－an0时，{an}为递增数列；当an＋1－an0时，{an}为递减数列；当an＋1＝an时，{an}为常数列；当an＋1－an的符号不确定时，{an}既不是递增的，也不是递减的，也不是常数列．思考3　如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？答　数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性加以解决，若求最大项an，则an应满足若求最小项an，则an应满足另外一种方法就是将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件．例1　判断下列无穷数列的增减性．(1)2,1,0，－1，…，3－n，…；(2)，，…，，….解　(1)设an＝3－n，那么an＋1＝3－(n＋1)＝2－n，an＋1－an＝(2－n)－(3－n)＝－1，所以an＋1an，因此这个数列是递减数列．(2)设bn＝，那么bn＋1＝＝，bn＋1－bn＝－＝0，所以bn＋1bn，因此这个数列是递增数列．反思与感悟　判断数列的单调性，一般地，根据数列的通项公式比较an＋1与an的大小，比较an＋1与an的大小常用作差法，此外还可用作商法、函数法．跟踪训练1　设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．解　因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋1－an0(n∈N＋)恒成立．又an＝n2＋kn(n∈N＋)，所以(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)0恒成立，即2n＋1＋k0，所以k－(2n＋1)(n∈N＋)恒成立．当n＝1时，－(2n＋1)有最大值－3，所以k－3即为所求范围．探究点三　数列的图像及单调性的判断例2　作出数列－，，－，，…，n，…的图像，并分析数列的增减性．解　如图是这个数列的图像，数列各项的值负正相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动，它既不是递增的，也不是递减的．反思与感悟　数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．跟踪训练2　画出下列数列的图像，并判断数列的增减性．(1)