{高考必备]离散型随机变量的分布列及均值与方差一（教）Word版(经典).docVIP

离散型随机变量的分布列及均值与方差 基础梳理 一、随机变量．随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量． ．离散型随机变量 随机变量可能取的值，可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． ．设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列． p1＋p2＋…＋pn＝_1_. E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn．D(X)＝xi－E(X)]2pi其算术平方根为随机变量X的标准差．2．两点分布 如果随机变量X的分布列为X 1 0 P p q 其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．p＋q＝_1_．E(X)＝p．D(X)＝p(1－p) ．．在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．p1＋p2＋…＋pn＝_1_．E(X)＝np．D(X)＝np(1－p) ．．超几何分布在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)则称分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列．p1＋p2＋…＋pn＝_1_．E(X)＝n．D(X)＝xi－E(X)]2pi ．(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数) ． ()E(X1＋X2)＝EX1＋EX2． ()D(aX＋b)＝a2·D(X) ．．解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率，正确地理解随机变量取值的意义．【例1】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数 分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列； (2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望． 解　(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21， P(Y＝17)＝＝P(Y＝18)＝＝P(Y＝19)＝＝ P(Y＝20)＝＝P(Y＝21)＝＝ 则随机变量Y的分布列是：Y 17 18 19 20 21 P (2)由(1)知E(Y)＝＋＋＋＋＝19， 设这名同学获得钱数为X元，则X＝10Y，则E(X)＝10E(Y)＝190. 【例】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功 投资失败 192次 8次 该公司一年后估计可获收益的期望是． 解析　设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，则随机变量X的取值分别为50 000×12%＝6 000(元)，－50 000×50%＝－25 000(元)．由已知条件随机变量X的概率分布列是X 6 000 －25 000 P 因此E(X)＝6 000×＋(－25 000)×＝4 760【例】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率． 解　(1)设袋中白球共有x个，根据已知条件＝，即x2－x－6＝0， 解得x＝3，或x＝－2(舍去)． (2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2，3,4,5. 因此，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝. 则随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P (3)甲取到白球的概率为P＝＋＋＝＋＋＝. 【例】 (2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．