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江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十一（每日一题） 已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立 的最大实数. 解：（1）由题意得，解得， （2）由（1）得， ① ② ①-②得 . ，设，则由得 随的增大而减小 时， 又恒成立， （3）由题意得恒成立 记，则 是随的增大而增大 的最小值为，，即. 江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十二（每日一题） 设函数 （1）求证：；（2）求证：函数在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设是函数的两个零点，求的范围。 证明：（1） 2′ 又 又2c=－3a－2b 由3a＞2c＞2b ∴3a＞－3a－2b＞2b ∵a＞0 4′ （2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c ①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且 ∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点 6′ ②当c≤0时，∵a＞0 ∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点 （3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点则的两根 ∴ 15′ 江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十三（每日一题） 已知函数f (x)对任意的实数x、y都有f (x+y)=f (x)+f (y)+2y(x+y)+1,且f (1)=1. (1)若x∈N*,试求f (x)的表达式； (2)若x∈N*且x≥2时，不等式f (x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立，求实数a的取值范围. 解: (1)令y=1,则f (x+1)=f (x)+f (1)+2(x+1)+1 …… 2分 ∴f (x+1)－f (x)=2x+4 …… 4分 ∴当x∈N*时，有f (2)－f (1)=2×1+4 f (3)－f (2)=2×2+4,f (4)-f (3)=2×3+4. … f (x)－f (x-1)=2(x-1)+4. …… 5分 将上面各式相加得f (x)=x2+3x－3　　(x∈N*). …… 6分 (2)当x∈N*且x≥2时，f (x)=x2+3x－3. 要使不等式f (x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立. 即当x∈N*且x≥2时,不等式x2+3x－3≥(a+7)x－(a+10)恒成立, …… 7分 即x2-4x+7≥a(x－1)恒成立 ∵x≥2,∴≥a恒成立. …… 8分 又=(x－1)+－2≥2. …… 10分 (当且仅当x－1=即x=3时取“等号”) ∴的最小值是2，故a≤2. …… 12分 江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十四（每日一题） 已知R,函数(x∈R). （1）当时，求函数的单调递增区间; （2）函数是否在R上单调递减，若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由; （3）若函数在上单调递增，求的取值范围. 解： (1) 当时,, . …… 2分 令,即,即，解得. 函数的单调递增区间是. …… 4分 (2) 若函数在R上单调递减,则对R都成立, …… 5分 即对R都成立, 即对R都成立. …… 6分 , 解得. …… 7分 当时, 函数在R上单调递减. …… 8分 (3) 解法一：函数在上单调递增,对都成立,9分 对都成立. 对都成立,…10分 即对都成立. …… 11分 令, 则. 当时，；当时，. 在上单调递减,在上单调递增. ， 在上的最大值是. . …… 14分 解法二： 函数在上单调递增, 对都成立, 对都成立.即对都成立.10分 令，则 解得 …… 13分 . …14分 江苏省东海高级中学高三奥赛班数学提升题（二）二十五（每日一题） 已知数列的前n项