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概率论与数理统计 作业簿（第三册） 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第七次作业 一．填空题： 的分布列为: 1 2 3 4 则 2.7 。 的分布列为: -1 0 1 2 则， ， 。 二．填空题： 若对任意的随机变量，存在，则等于 （ C ）。 　 (A)．B)．C)．D)．的概率密度为 其中???1，求 EX 。 解 。 设随机变量的概率密度函数 求和。 解 ； ； ； 。 一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2和0.3。假设各部件的状态相互独立，用表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望。 解 设Ai =｛第i个部件需要调整｝（i=1,2,3），则P(A1)=0.1，P(A2)= 0.2，P(A3)=0.3 。所以 ， 从而 。 设球的直径均匀分布在区间[a , b]内，求球的体积的平均值。 解 设球的直径长为,且,球的体积为,与直径的关系为,那么,。 6个元件装在3台仪器上，每台仪器装两个，元件的可靠性为0.5。如果一台仪器中至少有一个元件正常工作，不需要更换，若两个元件都不工作，则要更换，每台仪器最多更换一次，记X 为3台仪器需要更换元件的总次数，求EX 解 随机变量X 的取值：k=0,1,2,3 ，每台仪器需要更换元件的概率: ，则 X 0 1 2 3 P 27/64 27/64 9/64 1/64 故 。（或） 设是非负连续随机变量且存在，对任意试证 证 设的密度函数是，由得 ， 所以 。 * 某种产品上的缺陷数服从分布律 求此种产品上的平均缺陷数。（* 高等数学8学分的学生可以不做） 解 ， 令 ， 则 ， 所以 。 第八次作业 填空题 设随机变量的分布律为 -1 0 1 P a b 已知，则a= 1/4 ，b 1/4 。 选择题 设X是一随机变量，, (?, ??0为常数)，则对任意常数C，必有 （ D ） A E(X-C)2 = E(X2) - C2 B. E(X-C)2 = E(X-? )2 C. E(X-C)2 E(X-?? )2 D. E(X-C)2≥E(X-?? )2 计算题 对第七次作业第一大题第2小题的，求和。 解 ，。 对第七次作业第三大题第3小题中的，求。 解 设随机变量具有概率密度, 计算 。 解 ， ， 。 设随机变量仅在[a , b]取值，试证 。 证 因为, 所以. 又因为 ，。 已知某种股票的价格是随机变量，其平均值是1元，标准差是0.1元。求常数a，使得股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。(提示: 应用切比雪夫不等式)。 解 已知 ， 由契比雪夫， 令 ， 得 。 设随机变量的概率分布为 其中 0a1，。 解 所以 。 又 ， 故 。 设随机变量. 试求; 试用切比雪夫不等式给出的上界. 解 （1）=0.4 （2） 因为，所以 。 证明：事件在一次试验中发生次数的方差一定不超过。 证 设事件A在一次试验中发生的概率为p ，又设随机变量 则 。 第九次作业 填空题 设服从泊松分布，若，则 。 解 故 . . 设随机变量，已知，则参数n= 6 ，p = 0.4 。 解 某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这1000个投保人死亡人数不超过10人的概率。用Excel的BINOMDIST函数计算。BINOMDIST（10 , 1000, 0.005, TRUE）= 0.986531_。 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为4的泊松分布，用Excel的POISSON函数求进入仪器舱的粒子数大于10的概率。 POISSON（10 , 4 ，TRUE）=0.9972, 所求概率p=_0.0028_。 ，由切比雪夫不等式有__8/9___。 选择题 在相同条件下独立的进行3次射击，每次射击击中目标的概率为，则至少击中一次的概率为