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概率论复习.
一. 填空
1. 袋内有a个白球与b个黑球,每次从袋中任取一球,取出的球不再放回,则第k次取得黑球的概率是_______b/(a+b)_____. (第一章PPT中的例子)
2. 设随机变量X服从参数为的Poisson分布,X的方差为______________.
3. 设A,B为两个相互独立的事件,则____3/5___________. (和事件的加法公式,积事件的概率在独立的条件下可以写成分别概率的乘积)
4. 设(X,Y)的联合概率密度为,则P(0X1,1Y2)=_________. (二重积分)
5.设且X与Y相互独立,则2X+Y~_________N(5,25)________. (期望和方差的基本性质)
6. 设随机变量服从柯西(Cauchy)分布,即其密度为则X的期望E(X)为_______不存在___________. (期望的积分不绝对收敛)
二. 选择
(1) 两随机变量X及Y的标准差分别为5和6,相关系数为0.4,则D(X-Y)=( B ).
(标准差的平方才是方差,再用协方差的计算,相关系数的定义)
A. 85 B. 37 C. 49 D. 73
(2) 已知,, ,则( A ).
A. 3/4 B. 1/4 C. 4/5 D. 5/6
,
由狄摩根律:,所以,再由加法公式,
我们就得到
下列函数中,可作为某一随机变量分布函数的是( D ).
(分布函数的单调性,非负性,有界性,密度函数的非负性)
;(不单调)
B. , 其中; (f没有明确非负)
C. (没有上界)
D.
(4) 设(X,Y)服从以坐标原点为中心,r为半径的圆内部的均匀分布,则(X,Y)的联合密度及X与Y的协方差为( C ). (十四讲PPT中的例子)
A. B.
C. D.
三.计算
1. 某器皿成箱出售, 每箱20只, 假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.7, 0.2, 0.1, 一顾客预购一箱该器皿, 在购买时随意取一箱, 查看4只若无次品, 则买下, 否则退回, 求
(1) 顾客买下该箱器皿的概率;
(2) 在顾客买下的一箱器皿中确实没有残次品的概率.
解:(1)(全概率公式)
(贝叶斯公式)
全概率公式这里是对整个样本空间的一个划分,在本题中,事件表示顾客买下这箱器皿,事件表示买下的这箱器皿含有次品的数,那么并对应着不同的概率。的求法利用排列组合,这是古典概型,直接计算。
贝叶斯公式,计算的是某个特殊情况占整个发生的事件的比重
以上两个公式虽然出现在第一章,但是一定要和第三、四章的随机变量问题相结合!!!!注意课后习题第三章的25题,参考答案是错的!利用全概率公式
所以答案应该是,,
2.
(公式法,只要注意区间就可以了)
3. (12分) 已知随机变量相互独立, 且二者的概率密度函数分别为
试求的概率密度函数.
(公式法,注意积分区域)
4. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为
Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8
试验证: X与Y是否相关; X与Y是否独立.
(算出边缘分布,再分别算期望和方差即可得到答案:不相关,不独立)
5. 设二维随机变量(,)的联合概率密度为
求(1) 常数A;
(2) 边际概率密度,, 并判断与是否相互独立?;
(3) .
解(1)得到 (密度的基本性质)
由于,所以不相互独立
(先求边缘密度,用公式,再验证等号是否成立)
其他范围取0
(条件密度的定义,直接计算)
6. 设一系统由两个相互独立的元件串联而成,两个元件的寿命X与Y均服从参数为的指数分布,即X与Y的密度函数分别为 试求
(1) 系统寿命的密度函数;
(2) 系统的平均寿命.
解:(1)即求解的密度函数。
首先得到指数分布的分布函数为,那么即得
Z的分布函数为进而密度就是
就是求数学期望,得到
几个复习要点
:加法公式(两个事件、三个事件的加法公式),条件概率的定义(通过定义得到乘法公式),全概率公式,贝叶斯公式,事件的独立性(相互独立事件的积事件的概率就是分别求概率再乘积),利用排列组合以及面积之比的方法求解等可能随机事件的概率
:引入了随机变量的概念,离散型的是分布律,连续型的是概率密度,利用
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