第六章参数估计..docVIP

第六章 参数估计 1、 证明在样本的一切线性组合中，是总体期望值的无偏估计 证：设是来自总体的样本，， ，为的线性组合． 设总体的期望值为，方差为，则 所以是的无偏估计． 2、 设总体服从参数为的普阿松分布，求的矩估计量． 解：，则 设为取自总体的简单随机样本，样本均值为，方差为，由 有 ，即 或 有 ，即 所以的矩估计量为或． 3、 设总体的密度函数为： 试求的极大似然估计． 解：设是样本的观测值，取自总体，则参数的似然函数为： 对数似然函数为 似然方程为 解得 ． 4、 设,为的样本，试验证： ，，都是的无偏估计量，并指出其中哪个是较好的估计量． 解：，则 说明，，都是的无偏估计量． 说明是较好的估计量． 5、 已知灯泡寿命的标准差小时，抽出25个灯泡检验得平均寿命小时，试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计． 解：设灯泡寿命服从正态分布．已知，，，，查表可得，于是灯泡的平均寿命的95%的置信区间为，即 ． 6、 设为取自总体的简单随机样本，证明阶样本原点矩是总体阶原点矩的无偏估计量． 证：记总体的阶原点矩．对样本来说，样本的阶原点矩为 与总体同分布，则 于是 故阶样本原点矩是总体阶原点矩的无偏估计量． ． 7、设总体服从正态分布，是从此总体中抽取的一个子样，试验证下面三个估计量： (1) (2) (3) 都是的无偏估计量，，问哪个估计更有效？． 解：，则， 说明，，都是的无偏估计量． 说明估计更有效． ． ． 8、 从生产出的一大堆钢球中随机抽出9个，测量它们的直径（单位：mm），并求得其样本均值，样本方差．试求总体均值的置信度为95%的置信区间（假设钢球的直径）． 解：钢球的直径，其中未知．已知，，，，查分布表可得，于是总体均值的95%的置信区间为，即 ． 9、 为了解灯泡使用时数的均值及标准差，测量10个灯泡，得小时，小时，如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求和的95%的置信区间． 解：灯泡时数服从正态分布，未知．已知，，，，查分布表可得，于是 的95%的置信区间为，即 ； 的95%的置信区间 由，查分布表，有 则的95%的置信区间即为 ． 10 设总体，如果已知，问样本容量取多大时，方能保证的95%置信区间的长度不大于？ 解：，查表可得，于是的95%的置信区间为，则区间的长度为 则 故 ． 11、 设总体的分布列为 从中抽得容量为的一个子样，其中有个取值为，，求的极大似然估计． 解：参数的似然函数为： 对数似然函数为 似然方程为 解得的极大似然估计 . 1